高教版中职数学(拓展模块)3.3《离散型随机变量及其分布》1

离散型随机变量及其分布离散型随机变量随机变量的所有取值是有限个或可列个非离散型随机变量随机变量的取值有无穷多个，且不可列1212............iiXxxxPppp定义：若随机变量X的所有可能取值为xi(i=1,2,…)而X取值为xi对应的概率为pi，即,1,2,...iiPXxpi或称之为离散型随机变量X的分布律或分布列或概率分布。分布律具有以下重要性质：101,1,2,3,.......ipi121iip即不满足这两条性质，就不能称为随机变量的分布律。=P(抽得的两件全为次品)求分布律举例例1设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值为0，1，2=P(抽得的两件全为正品)190136220217CCP{X=1}P{X=2}1131722051190CCC232203190CC=P(只有一件为次品)P{X=0}故X的分布律为X012kp190136190511903而“至少抽得一件次品”={X≥1}={X=1}{X=2}P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}注意：{X=1}与{X=2}是互不相容的！952719054190319051实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了故从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。解记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…则Ai,i=1,2,3,…是相互独立的！且X的所有可能取值为1，2，3，…,k,…P(X=k)=)(121kkAAAAP(1-p)k-1p,k=1,2,…(X=k)对应着事件kkAAAA121例若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布.不难验证:1)1(11kkpp,2,1kppkXPk1)1()(练习：一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布.解:依题意,X可取值0,1,2,3.P(X=0)=P(A1)=1/2,Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设路口3路口2路口1P(X=1)=P()21AA2121=1/4321AAAP(X=2)=P()212121=1/8X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1路口3路口2路口1Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设321AAA=1/8P(X=3)=P()212121路口3路口2路口1818141213210~X即不难看到301)(iiXPX表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3设设随机变量X的分布律为2(),1,2,3,3kPXkbk试确定常数b.解由分布律的性质,有11223()()2313kkkbPXkb例232113bb1.2b解:依据概率函数的性质:kkXP1)(P(X=k)≥0,1!0aekakka≥0从中解得欲使上述函数为概率函数应有ea0kkke!这里用到了常见的幂级数展开式练习设随机变量X的概率分布为：,!)(kakXPkk=0,1,2,…,试确定常数a.0例：若随机变量X的分布律为123411114288kXp则随机变量X的分布函数为()Fx1x0,12x1,PX23x12PXPX34x123PXPXPX4x1234PXPXPXPX即0,1,1,12,43(),23,47,34,81,4.xxFxxxx分布函数的图像如下：分布函数的图像是一个右连续的阶梯形。且在间断点处的跳跃值等于X取这个值的概率。例如。。。14783411234()Fxx311(2)442PX几种常见的离散型分布一、两点分布定义：若随机变量X的分布律为X01P1-pp则称X服从参数为p(0p1)的两点分布，或0-1分布。背景：当样本空间只有两个样本点时，可以用两点分布来描述。实例：顾客的性别，机器工作是否正常，以及前面提到的掷硬币试验等都可用0-1分布来描述。例设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量10X（取得红球）（取得白球）其概率分布为3(1)10PX7(0)10PX即X服从两点分布。二、二项分布定义：若随机变量X的分布律为{}(1)0,1,2...,.kknknPXpkkpnC则称X服从参数为n，p(0p1)的二项分布，也称伯努利分布。记为X～B(n,p)注：1.当n=1时，即X～B(1,p)，2.恰好是二项式的展开式中出现的那一项，这就是被称为二项分布的缘由。kknknCpq()npqkp亦即是两点分布。从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率.有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验记X为共抽到的次品数，则)41,5(~BX2522511{2}144PXCA=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5p=1/4例解例一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后,求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。解X～B（10,0.9）(1)P(X=8)=1937.01.09.028810C2()P(x8)=8829910101010100.90.10.90.10.90.9298CCCP(X=8)+P(X=9)+P(X=10)例：某保险公司有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年时间时每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日付12元保险费，而在死亡时家属可从公司领2000元。问：（1）“保险公司亏本”（记为A）的概率是多少？（2）“保险公司获利不少于10000，20000元”（分别记B1和B2）的概率是多少？解：25002500250016(1)()(15)(0.002)(0.998)kkkkPAPXC102500125000(2)()(10)(0.002)(0.998)kkkkPBPXC52500225000(3)()(5)(0.002)(0.998)kkkkPBPXC问题：如何算出精确或近似值泊松分布Poissondistribution若随机变量X的分布律为:...2,1,0,!)(kekkXPk其中0,则称X服从参数为的泊松分布X～P()定义泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.地震在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.火山爆发特大洪水电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.例：假设书的某一页上印刷错误的个数服从参数为0.5的泊松分布，求在这一页上至少有一处印刷错误的概率．解：设X表示一页书上印刷错误的个数，则X～P(0.5).因此1PX10PX121e0.393已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从4的泊松分布，分别求（1）每分钟内恰好接到3次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概率(4)(0)(1)(2)(3)(4)PXPXPXPXPXPX4,3k()!kPXkek344(3)3!PXe例解0.195630.628838泊松定理实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式ekppCkknkkn!)1(二项分布的泊松近似ThePoissonApproximationtotheBinomialDistributionnp某人骑摩托车上街,出事故率为0.02，独立重复上街400次，求出事故至少两次的概率.400次上街400重Bernoulii实验记X为出事故的次数，则~(400,0.02)XB≈1-e-8-8e-8≈0.9972P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！400400{}0.020.98kkkPxkC=1-0.98400-400（0.02)(0.98399)88!kek≈0.9970泊松定理例解若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则至少成功一次的概率为400{1}1{0}=10.990.9820PXPX成功次数服从二项概率(400,0.01)B有百分之一的希望，就要做百分之百的努力练习为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理.问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?我们先对题目进行分析：300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01.可看作n=300的贝努里概型.X~B(n,p)，n=300,p=0.01可见，300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(XN)0.01的最小的N.解：设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(XN)0.01的最小的N.P(XN)kkNkkC3003001300)99.0()01.0(30013!3Nkkken大,p小,np=3,用=np=3的泊松近似λ下面给出正式求解过程：13!3Nkkke即至少需配备8个维修人员.查书末的泊松分布表得N+19,即N8我们求满足1301.0!3Nkkke的最小的N.,0038.0!393kkke,012.0!383kkke四、几何分布定义：若随机变量X的分布律为1,1,2,.(1)kPXkqpkqp则称X服从几何分布。记为X～G(p).注：重复进行一个每次成功概率为p的独立试验，若前k-1次失败，第k次成功，其概率即为1kqp背景：放回抽样。设箱中有N个白球与M个黑球，每次随机取一个球，直到取出黑球为止．如果每取出一个球后立即放回，再取出一个球，试求下列概率：例：1.正好需要取n次；2.至少需要取k次。解：1.11()()nnnNMMNPXnNMNMNM令X表示取到黑球所需的次数，则2.1nnkNMP