圆的性质及与圆有关的位置关系.

组长签字：日期：学员编号：XCAST年级：九年级课时数：3KS学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课日期及时段2016-12-3117:00-19:00九年级圆的性质及与圆有关的位置关系一．圆的有关概念及性质1.弦、直径及垂径定理2.弧、弦、圆心角之间的关系3.圆周角与圆心角的关系二．与圆有关的位置关系1.直线与圆的位置关系、切线的性质和判定2.点与圆的位置关系一、圆的有关概念及性质（1）圆的有关概念1.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆周角，它的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．其性质有：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（3）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．知识梳理学习内容教学目标FEBACDO注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．1.垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3）推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ard，根据此公式，在a，r，d三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．ra2dOCBA二、点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．（2）设O⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外dr；点在圆上dr；点在圆内dr.如下表所示：位置关系图形定义性质及判定所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等EODCBA点在圆外PrO点在圆的外部dr点P在O⊙的外部.点在圆上PrO点在圆上dr点P在O⊙上.点在圆内PrO点在圆的内部dr点P在O⊙的内部.2.过已知点的圆1.过已知点的圆（1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．（2）经过两点AB、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点AB、的圆，这样的圆也有无数个．（3）过三点的圆：若这三点ABC、、共线时，过三点的圆不存在；若ABC、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．（4）过n4n个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．2.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；（2）“确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．（3）三角形的外接圆及外心1.三角形的外接圆（1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．（2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.2.三角形外心的性质（1）三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；（2）三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.三、直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离lOdr直线与圆没有公共点．dr直线l与O⊙相离相切lOdr直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．dr直线l与O⊙相切相交lOdr直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．dr直线l与O⊙相交（2）切线的性质及判定1.切线的性质（1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则ABl．②过圆心，垂直于切线过切点．AB过圆心，ABl，则AB过切点M．③过切点，垂直于切线过圆心．ABl，AB过切点M，则AB过圆心．2.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．OOOAAAlll3.切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．MBOlA（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2.多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3.直角三角形内切圆的半径与三边的关系cbacbaOFEDCBACBACBA设a、b、c分别为ABC△中A、B、C的对边，面积为S，则内切圆半径为srp，其中12pabc．若90C，则12rabc．考点一圆的有关概念及性质（1）圆周角与圆心角例1.如图，☉O的半径为4，△ABC是☉O的内接三角形，连接OB、OC。若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为_________.例2.如图,经过原点O的☉P与x,y轴分别交于A,B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=________.例题讲解例3.如图，已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44o，则∠CAD的度数为_________.变式训练1.(2016南宁)如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为__________.2.如图,☉O是△ABC的外接圆,连接OA、OB,∠OBA=50O,则∠C的度数为()3、如图，点p是四边形ABCD外接圆☉O上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是☉O的直径，AB=BC=CD，连接PA,PB,PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=_____。（2）垂径定理例1、已知☉O的半径等于5cm，弦AB=6cm,CD=8cm,且AB//CD,则AB、CD之间的距离为________.例2、如图，⊙O的半径是2，直线与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（）例3、[2012烟台]如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF＝CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若，求ABCCBDS△△S的值．（3）圆的内接四边形例1.如图，四边形ABCD内接于☉O，∠DAB=130O，连接OC。点P是半径OC上任意一点，连接DP、BP，则∠BPD可能为_____度。（写出一个即可）对应训练1.如图，在RT△ABC中，∠ABC=90O，点M是AC的中点，以AB为直径作☉O分别交AC，BM于点D，E。求证：MD=ME。（4）三角形的外接圆及圆的内接多边形例1.设I为△ABC的外心,若∠BIC=100O,则∠A的度数是____________例2.如图，在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35O，则∠B+∠E=_______.（5）与相似的综合例1.如图，已知AD是△ABC的角平分线，☉O经过A、B、D三点，过点B作BE//AD，交☉O于点E，连接ED。（1）求证：ED//AC;（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12-16S2+4=0,，求△ABC的面积。考点二与圆有关的位置关系(1)切线的性质例1.如图,AB是☉O直径,点C在☉O上,AE是☉O的切线,A为切点,连接BC并延长交AE于点D.若∠AOC=80°,则∠ADB的度数为()例2如图所示，AB是☉O的弦，AC是☉O的切线，A为切点，BC经过圆心。若∠B=25O，则∠C的大小等于（）。对应训练1.如图，PA、RB分别切⊙O于点A、B，若∠P＝70°，则∠C的大小为_________度.2.如图,AB为☉O的直径,直线l与☉O相切于点C,,垂足为D,AD交☉O于点E,连接OC、BE.若,,则线段DC的长为___________.（2）切线长定理例1如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5，AD、AB、BC分别与☉O相切于E、F、G三点，过点D作☉O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为_____________.(3)与切线有关的勾股定理和垂径定理的综合1.如图，已知⊙0是以坐标原点0为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与04平行的直线与⊙0有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是______________.2.如图在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为____．（4）圆与相似三角形的综合1.如图7，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切与点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为.2.如图，AB是☉O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE,BD与AE交于点F。（1）求证：BC是☉O的切线;（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DFDB;（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和☉O的半径。1（2012•永州）如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交⊙O于点B，连接AB，且PC=10，PA=6．求：（1）⊙O的半径；（2）cos∠BAC的值．2（2012•铁岭）如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB．连接AD．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB=35，求△CBD的面积．综合题库3.（2012•阜新）如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖．4.（2012•玉林）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（）A．rB．32rC．2rD．52r5.熟练