等差数列求和性质

2.2.2（二）2.2.2等差数列的前n项和(二)学习要求1．熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用．2．掌握等差数列前n项和的最值问题．3．理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）学法指导1．任何一个数列{an}与它的前n项和Sn之间都有一个等量关系式，此公式为：an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2，题中已知一个数列的前n项和，则可利用此公式求得此数列的通项公式，同时要注意此公式是一个分段的函数，所以在使用此公式求解时，要分类讨论．2．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用．3．等差数列的前n项和与二次函数联系十分紧密，要辨析它们之间的关系，从更高境界处理等差数列的前n项和问题.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）填一填·知识要点、记下疑难点1．前n项和Sn与an之间的关系对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an＝n＝1，n≥2.2．等差数列前n项和公式Sn＝__________＝____________.3．若等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝An2＋Bn＋C，则A＝____，B＝________，C＝____.S1Sn－Sn－1na1＋an2na1＋nn－12dd2a1－d20本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）填一填·知识要点、记下疑难点4．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为．解析∵a24＝0，∴a1，a2，…，a230，故S23＝S24最小.23或24本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效[问题情境]1．如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？2．如果一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？3．如果{an}是一个等差数列，那么{|an|}还是等差数列吗？如果不再是等差数列，如何求{|an|}的前n项和？这一节课我们就来解答上面的问题．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效探究点一数列{an}的前n项和Sn与an的关系问题我们已经知道，如果通项公式an已知，就能求出Sn；反过来，如果已知数列{an}的前n项和Sn，能否求出它的通项公式an?答对所有数列都有：Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.注意这一关系适用于所有数列，并且如果能统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N＋)来表示,应当统一表示．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）项结果又是如何？若有：？项，则有若数列奇偶奇偶12?-2n}{annSSSS2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效探究点二等差数列前n项和的最值问题由于Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n，当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，此解析式可以看作二次项系数为___，一次项系数为______，常数项为的二次函数，其图象为抛物线y＝d2x2＋(a1－d2)x上的点集，坐标为(n，Sn)(n∈N*)．因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d＞0时，Sn有最值；当d＜0时，Sn有最值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．小大0a1－d2d2本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效序号等差数列基本量前n项和SnSn的最值11,3,5,7,9，…，a1＝__，d＝__Sn＝__(Sn)min＝1，此时n＝__2－5，－3,－1,1,3，…，a1＝__，d＝__Sn＝______(Sn)min＝____,此时n＝____12n21-52n2－6n-93探究按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前n项和Sn取到最值时序号n的规律.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效34,2,0，－2，－4，…，a1＝___，d＝___Sn＝_______(Sn)max＝____,此时n＝______4－1,－2,－3，－4,－5，…，a1＝___，d＝____Sn＝_________(Sn)max＝_____,此时n＝____4-2－n2＋5n62或3-1-1－12n2－12n-11本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效通过上面的例子，我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号分界点处取到，据此完善下列结论：(1)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为____项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最____值．(2)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为____项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最____值；特别地，若a1＞0，d＞0，则S1是{Sn}的最____值；若a1＜0，d＜0，则S1是{Sn}的最____值．正大负小小大本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）{},,,()nnmmnaSmSnSmn证明：等差数列中若求证性质2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效典型例题例1已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－3n，求通项公式an.解当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.又∵a1＝－1适合an＝4n－5，∴an＝4n－5(n∈N*)．小结已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.解当n＝1时，a1＝S1＝3；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.∴an＝3n＝12·3n－1n≥2.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效例2在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值．解方法一∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.∴a1a2…a6a7＝0a8a9….∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效方法二∵an＝2n－14，∴a1＝－12.∴Sn＝na1＋an2＝n2－13n＝n－1322－1694.∴当n＝6或n＝7时，Sn最小，且(Sn)min＝－42.小结在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．解方法一利用前n项和公式和二次函数性质．由S17＝S9，得25×17＋172×(17－1)d＝25×9＋92×(9－1)d，解得d＝－2，所以Sn＝25n＋n2(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效方法二先求出d＝－2，因为a1＝250，由an＝25－2n－1≥0，an＋1＝25－2n≤0，得n≤1312，n≥1212.所以当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋13×13－12×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效方法三由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－20，又因为a10，所以a130，a140，故当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋13×13－12×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效例3若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋nn－12d＝13n＋nn－12×(－4)＝15n－2n2；当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×13＋1×42－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效∴Tn＝15n－2n2，n≤4；2n2－15n＋56，n≥5.小结等差数列{an}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.解由S2＝16，S4＝24，得2a1＋2×12d＝16，4a1＋4×32d＝24.即2a1＋d＝16，2a1＋3d＝12.解得a1＝9，d＝－2.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*)．①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，故Tn＝－n2＋10nn≤5，n2－10n＋50n≥6.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）练一练·当堂检测、目标达成落实处1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于()A．nB．n2C．2n＋1D．2n－1D本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）练一练·当堂检测、目标达成落实处2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()A．－2B．－1C．0D．1解析等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，B∴λ＝－1.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）练一练·当堂检测、目标达成落实处3．设数列{an}的通项为an＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝.解析|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a7|＝(－a1)＋(－a2)＋(－a3)＋(a4＋a5＋a6＋a7)＝－(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6＋a7)＝－(－5－3－1)＋(1＋3＋5＋7)＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋7＝25.25本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.2（二）练一练·当堂检测、目标达成落实处4．首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝时，Sn取到最大