高考高中数学正态分布要点

引入正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。16417517016316816117717316518115517816416117417717516817016917416417618118116717816816915917416717117617217415918015417317017117417217118516417216316716817017417216918216716517217118515717416416817316617216117816217217916116017516916917516115515618218284):cm从某中学男生中随机抽取出名，测量身高，数据如下（单位：上述数据的分布有怎样的特点？频率分布直方图数学情景第一步：分组确定组数，组距？区间号区间频数频率累积频率频率/组距1153.5~157.550.05950.05950.0152157.5~161.580.09520.15470.0243161.5~165.5100.11900.27380.0304165.5~169.5150.17860.45340.0455169.5~173.5180.21430.66670.0546173.5~1775180.17860.84520.0457177.5~181.580.09520.94050.0248181.5~185.550.059510.015第二步：列出频率分布表xy频率/组距中间高，两头低，左右大致对称第三步：作出频率分布直方图频率组距产品尺寸（mm）ab若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线．总体在区间内取值的概率),(ba概率密度曲线概率密度曲线的形状特征．“中间高，两头低，左右对称”知识点一：正态密度曲线22()21P(),(,)2xxexmsps--=???上图中概率密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的概率密度曲线,叫做“正态密度曲线”，它的函数表达式是知识点二：正态分布与密度曲线式中的实数、是参数,分别表示总体的平均数与标准差.不同的对应着不同的正态密度曲线m)0(ssms，（1）当=时,函数值为最大.(3)的图象关于对称.（2）的值域为（4）当∈时为增函数.当∈时为减函数.)(xf)(xfxxx)(xf)(xf正态密度曲线的图像特征μ]21,0(s（－∞，μ]（μ，+∞）xX=μσ正态曲线22()21()2xfxess(,)x???=μx(](]Xa,PaX)a,bbxbms£p２若是一个随机变量，对任给区间，（恰好是正态密度曲线下方和轴上方所围成的图形的面积，我们就称Ｘ服从参数和的正态分布。()ms:２简记为：ＸＮ，abXY知识点：正态分布2.正态分布的定义:如果对于任何实数ab,随机变量X满足:badxxbXaP)()(,s则称为X的正态分布.正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分布记作N（μ，σ2）.其图象称为正态曲线.如果随机变量X服从正态分布，则记作X~N（μ，σ2）的意义x1x2总体平均数反映总体随机变量的平均水平x3x4平均数x=μ总体平均数反映总体随机变量的平均水平总体标准差反映总体随机变量的集中与分散的程度平均数s的意义1s2s正态总体的函数表示式当μ=0，σ=1时222)(21)(ssxexf),(x2221)(xexf标准正态总体的函数表示式),(x012-1-2xy-33μ=0σ=1标准正态曲线3、正态曲线的性质012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2具有两头低、中间高、左右对称的基本特征22()21(),(,)2xxexsss012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.3、正态曲线的性质（4）曲线与x轴之间的面积为1（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)1σ2π22()21(),(,)2xxexsss方差相等、均数不等的正态分布图示312σ=0.5μ=-1μ=0μ=1若固定,随值的变化而沿x轴平移,故称为位置参数；s均数相等、方差不等的正态分布图示s=0.5s=1s=2μ=0若固定,大时,曲线矮而胖；小时,曲线瘦而高,故称为形状参数。sssσ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.（5）当xμ时,曲线上升;当xμ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.3、正态曲线的性质22()21()2xxesss正态曲线下的面积规律•X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。•对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)＝S(-,-X)正态曲线下的面积规律•对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1-x2x2x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)4、特殊区间的概率:-a+ax=μ若X~N,则对于任何实数a0,概率为如图中的阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减少而变大。这说明越小,落在区间的概率越大，即X集中在周围概率越大。2(,)s,()()aaPaaxdxsx≤sss(,]aa()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPXssssss特别地有我们从上图看到，正态总体在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。ss2,2ss3,3由于这些概率值很小（一般不超过5％），通常称这些情况发生为小概率事件。()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPXssssss当3as时正态总体的取值几乎总取值于区间(3,3)ss之内,其他区间取值几乎不可能.在实际运用中就只考虑这个区间,称为3s原则.1、已知X~N(0,1)，则X在区间内取值的概率等于（）A.0.9544B.0.0456C.0.9772D.0.02282、设离散型随机变量X~N(0,1),则=,=.3、若X~N(5,1),求P(6X7).(,2)(0)PX(22)PXD0.50.9544