求离心率的值与范围的问题

圆锥曲线中求离心率的值与范围的问题老师姓名：目录/DIRECTORY123离心率问题的思考方向求离心率值的问题求离心率范围的问题思考方向离心率问题必须要掌握的思考方向：1.圆锥曲线定义（包括第二定义），特别注意焦点三角形焦点三角形中，底边是2c，另两条边的和或差是2a，如果能找到这三条边的关系，或者可用一个未知数表示三条边，则即可求离心率。2.从所给平面几何的性质入手（面积等价转化，三角形边角关系，中垂线等）要求能从题目中给出的具有典型特点的性质找出等量或不等关系。3.圆锥曲线本身的几何性质（1）焦半径取值范围，例如在椭圆中1acPFac（2）椭圆中焦点三角形顶角取值范围，当顶点处于短轴的交点处，此时12FPF最大。思考方向离心率问题必须要掌握的思考方向：4.直线与圆锥曲线的位置关系，相交、相切或相离；点和圆锥曲线的位置关系此时需要注意点在圆锥曲线上，内或外。重点强调一下双曲线中直线与双曲线的交点位置问题，如何判断过焦点的直线与双曲线的交点位置，是与其中的一支有两个交点还是两支各有一个交点，需要判断直线的斜率和渐近线斜率的大小。1.基本方法求离心率的值需要构造一个含有,,abc或数字的等式，而等式关系如何构造，只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招，没套路可言。1.基本方法：从定义出发，特别注意第一定义中的焦点三角形问题，以椭圆为例，在焦点三角形中三条边中蕴含了,ac的关系，因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。求离心率值问题例1：如图，12,FF是椭圆221:14xCy和双曲线2C的公共焦点，若四边形12AFBF为矩形，则双曲线的离心率为____________.解析：关于共焦点的问题，c相等，在椭圆里面1224AFAFa在12RTAFF中满足2221212+=AFAFFF，解得12=2-2=2+2AFAF，则在双曲线中2,3ac，则62e求离心率值问题例2：设椭圆的两个焦点分别是12,FF，过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_________.解析：题目中出现了等腰直角三角形，所以这个是我们的突破点在12FPF中，212PFFF且2PF是通径的一半22bPFa，即22bca解得21e求离心率值问题2.几何法例3：已知,AB为双曲线E的左右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形且顶角为120，则E的离心率为_________.上图中A,B两点不是焦点，2ABa,且条件中没有b和c的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含,ab的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。解析：从M点作x轴的垂线，垂足为C，因为2,60BMaMBC所以,3BCaMCa，所以点M的坐标为(2,3)aa代入到双曲线中得2222(2)(3)1aaab整理得2e求离心率值问题几何方法不是方法，而是分析几何图形的能力，根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如题目中给出的等腰，中垂线，垂直等条件都可能是破解题目的入手点。例4：设12,FF分别是椭圆2222:1xyEab的左右焦点，过点1F的直线交椭圆E于A,B两点，11||3||AFBF，若23cos5AFB，求椭圆E的离心率。分析：题目有点像焦点弦中的关于倾斜角，离心率，比例的公式，但是不知道12AFF的余弦值，因此不能够直接用公式，题目给出的图像是两个焦点三角形，因此考虑从第一定义入手，题目中给出了另外一个角的余弦值，由于焦点三角形中三边中包含离心率所需的参数，结合三边长试一下余弦定理。解析：2222222+3cos2.5AFBFAFBAFBF题目中未知量太多，考虑减少未知量，设1BFk，则123,23AFkAFak代入余弦公式中整理得：()(3)0akak，所以3ak回归到焦点三角形中，求三边的关系。我们发现123,3AFkAFk，我们发现12AFF为等腰三角形，但是还是求不出三边关系，至少我们还需要知道12AFF中的一个角。因为224,3,5ABkAFkBFk所以可知1290FAF，可得出等量关系：bc，即可求出离心率的值。求离心率值问题例5：在平面直角坐标系xoy中，双曲线22122C:1xyab的渐近线与抛物线22C:2(0)xpyp交于点,,OAB，若OAB的垂心为2C的焦点，则1C的离心率为____________.解析：题目中未出现焦点三角形，则与定义无关，且A,B均不在双曲线上，因此求点坐标无用，题目双曲线中唯一出现的与,,abc有关系的量就只有渐近线了，因此题目中必定用到渐近线方程，题目中还给出了垂心的概念，因此垂直关系就很明显了。而题目中的等量关系就是垂直，例如AFOB，因此可采用斜率乘积为-1来求，但是需要求出点B的坐标，点B的坐标是渐近线方程和抛物线的交点，因此联立即可：2222222222222(,),(,)2pbxxpypbpbpbpbaABbaaaapbyxyaa2253.142OBAFbkkea求离心率值问题例6：椭圆22221xyab的右焦点(,0)Fc关于直线byxc的对称点Q在椭圆上，则求椭圆的离心率。解析：题目中有一个很明确的条件：对称点，因此我们可以从对称点入手，因为点F关于直线的对称点Q也在椭圆上，因此我们可以根据对称求出点Q的坐标，然后代入到椭圆方程中可以求出离心率，但是计算量很大，如果时间充足可以自己试试这种方法。另外一种思考方式是点Q在椭圆上，点F是右焦点，因此自然想到焦点三角形，需要连接另外一个焦点如上图。22211211242222bcQFQFcQFaQFQFabceQFbcQFQFca求离心率值问题求离心率值问题总结：求解离心率的值首选第一和第二定义，因为定义直接表现出离心率，另外焦点弦中讲到过,,e之间的关系，1cos1e，因此这个公式应特别，最重要的是要培养分析所给条件的能力。和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等关系，且不等关系中含有,,abc或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四种思考方向：1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：（1）焦半径的取值范围为1acPFac.求离心率范围问题1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手例7：椭圆22221xyab的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在一点P，满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是_________.解析：题目中给出了中垂线，所以要用到中垂线的性质AFPF，让求e的范围我们需要构造一个不等关系，且在有动态变量的题目中，需要把定值和变量进行比较，很显然2aAFcc为定值，PF是焦半径为变量，因此acPFac，所以得出不等关系2aaccacc解得112e求离心率范围问题例8：双曲线22221xyab的两个焦点分别是12,FF，若P是其上的一点，且12||2||PFPF，则双曲线的离心率的取值范围是________.解析：（两种方法）方法一：122PFPFa，且12||2||PFPF，则124,2PFaPFa因为P不确定，但是可知P不可能是右支的顶点，所以12,,PFF构成三角形，则1212PFPFFF，即62ac，解得13e方法二：注意到12,PFPF均为焦半径，点P在右支上，且22PFa所以根据在双曲线中焦半径的取值范围可知2PFca即2aca解得13e离心率范围问题例9：已知椭圆22221xyab的左右焦点分别是12(,0),(,0)FcFc，若椭圆上存在点P，使1221sinsinacPFFPFF，求该椭圆离心率的取值范围__________.解析：题目中出现了1221sinsinacPFFPFF，很容易想到分式里面跟角度有关的正弦定理，所以变形一下得211122sinsinPFFPFcaPFFPF因为122PFaPF，所以212122sin2sinPFFaPFcaPFFPF注意2PF为焦半径，因此2acPFac所以不等关系就能找出来了，解不等式可得211e求离心率范围问题（2）焦点三角形顶角的取值范围：当P点处于B位置时，顶角最大，例：例10：设P是椭圆22221xyab上一点，且1290FPF，其中12,FF是椭圆的两个焦点，求椭圆离心率的取值范围_________.解析：该题目之前讲过，考察的是焦点三角形顶角的最大值问题，当焦点三角形的顶角处于短轴的交点位置时，12FPF最大，题目中给出1290FPF，且点P位置不确定，因此11290FPF，因此在12RTFPF中，1111FPOPFO故cb，根据不等式可解得212e离心率范围问题（3）焦点三角形面积的取值范围：当点P处于B位置时，焦点三角形面积最大，例：例11：过椭圆22221xyab中心的直线与椭圆交于,AB两点，右焦点为2(,0)Fc，则2ABF的最大面积为__________.分析：在椭圆内的所有焦点三角形，当顶点P与短轴重合时，此时面积最大maxSbc解析：注意，凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时，这两点的位置是对称的，本题目中2ABF和12AFF是全等的，因此212ABFAFFSS故当点A位于短轴的交点处时，面积最大maxSbc求离心率范围问题（4）焦点弦长的取值范围：2bMNa（通径最短），在双曲线中，由于双曲线特殊的形态，有两类特别需要注意的不等关系。①过圆心的直线与双曲线交点个数问题当过原点的直线处于上图中区域中，此时直线与双曲线无交点；当过原点的直线处于上图中区域中，此时直线与双曲线有两个交点，但是注意在这两个区域内直线斜率的取值范围。离求心率范围问题②过焦点的直线与双曲线交点个数问题例12：已知双曲线22221xyab的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.解析：过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为1个或2个，取决于这条直线和右渐近斜率的关系，如果这条直线的斜率为k小于等于右渐近线byxa的斜率，则与右渐近线只有一个交点，如上图所示可得3ba，解不等式可求出2e求离心率范围问题2.从直线和圆锥曲线的位置关系或点和圆锥曲线的位置关系入手（1）点和圆锥曲线的位置关系若能用,,abc表示出某点的坐标，则根据点在椭圆内/外，将点代入椭圆内就有相应的不等关系，而这个点一般是特殊位置点，如三心、中垂线上的点等。例：求离心率范围问题例13：已知椭圆22221xyab短轴顶点(0,)Bb，若椭圆内接三角形BCD的重心是椭圆的一个焦点，求椭圆离心率的取值范围__________.解析：设1122(,y),(,y)CxDx，已知点(0,),(,0)BbFc根据重心公式可知1212,033xxyybc所以12123,2222xxyycb根据重心性质可知在线段CD上的中点的坐标为3(,)22cbE，因为,CD是动点，但是点E肯定在椭圆内部，因此22223()()221cbab，化简整理得303e求离心率范围问题（2）直线和圆锥曲线位置关系。在开放式问题中如果问存在不存在或者求直线方程时求出多个斜率，则必定要对所求的值进行验证，若在离心率的取值范围问题中使用位置关系的判定方法，例如判别式法只能求出某个参数的取值范围，求离心率的取值范围其实是将离心率转化为关于所求出参数的函数的取值范围，例：求离心率范围问题例14：设双曲线22221xyab的渐近线与抛物线21yx相切，求该双曲线的离心率_______