2019-2020年高中数学-2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时跟踪检测-新人教A版必修4

2019-2020年高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时跟踪检测新人教A版必修4考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难向量的线性运算211用已知向量表示其他向量57共线向量定理的运用1、46、8、10综合问题39、12131．平面向量a，b共线的充要条件是()A．a，b方向相同B．a，b两向量中至少有一个为零向量C．存在λ∈R，b＝λaD．存在不全为零的实数λ1、λ2，λ1a＋λ2b＝0解析：注意向量a，b是否为零向量，分类讨论．若a，b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1、λ2，使得λ1a＋λ2b＝0；若a≠0，则由两向量共线知，存在λ≠0，使得b＝λa，即λa－b＝0，符合题意，故选D.答案：D2．化简4(a－b)－3(a＋b)－b＝()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.答案：D3．给出下面四个结论：①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb(m∈R)，有a＝b；④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，有m＝n.其中正确的结论个数是()A．1B．2C．3D．4解析：①正确．因为实数与向量的积满足分配律．②正确．因为实数与向量的积满足结合律．③错误．因为若m＝0，则a，b可以是任意向量．④正确．因为由ma＝na，得(m－n)a＝0，又a≠0，所以m－n＝0，即m＝n.故选C.答案：C4．已知向量a，b，若AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D解析：∵BC→＋CD→＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB→，即BD→＝2AB→，∴BD→∥AB→.又∵BD→，AB→都有公共点B，∴A，B，D三点共线．答案：A5．若AP→＝tAB→(t∈R)，O为平面上任意一点，则OP→＝________________.(用OA→，OB→表示)解析：AP→＝tAB→，OP→－OA→＝t(OB→－OA→)，OP→＝OA→＋tOB→－tOA→＝(1－t)OA→＋tOB→.答案：(1－t)OA→＋tOB→6．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.解析：由题意知，ka＋2b＝λ(8a＋kb)(λ＜0)．∴(k－8λ)a＋(2－λk)b＝0.又a，b不共线，∴k－8λ＝0，2－λk＝0，解得λ＝－12，k＝－4.答案：－47.如图在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设AE→＝a，AF→＝b，试用a，b表示向量AB→，AD→.解：因为AE→＝AB→＋12AD→＝a，AF→＝12AB→＋AD→＝b，所以2AB→＋AD→＝2a，AB→＋2AD→＝2b.解得AB→＝43a－23b，AD→＝43b－23a.8．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是()A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0解析：当e1∥e2时，易知a与b共线；若e1与e2不共线，设a＝kb，则有e1＋λe2＝k·2e1，即(1－2k)e1＋λe2＝0，于是1－2k＝0，λ＝0，所以k＝12，λ＝0.因此若a∥b，则e1∥e2或λ＝0.故选D.答案：D9．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析：AB→＝a＋2b，CD→＝－5a－3b，因为a与b不共线，所以AB→与CD→不共线．所以AB与CD不平行．又AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b，显然AD→＝2BC→.所以AD∥BC.所以四边形ABCD为梯形．故应选A.答案：A10.如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且ADAB＝AEAC＝13，则DE→＝______BC→.解析：∵ADAB＝AEAC＝13，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴DEBC＝13.又DE→与BC→同向，∴DE→＝13BC→.答案：1311．已知向量a，b.(1)计算：6a－[4a－b－5(2a－3b)]＋(a＋7b)；(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来．解：(1)原式＝6a－(4a－b－10a＋15b)＋a＋7b＝6a－(－6a＋14b)＋a＋7b＝6a＋6a－14b＋a＋7b＝13a－7b.(2)3x－2y＝a，①－4x＋3y＝b，②①×4＋②×3，得(12x－8y)＋(－12x＋9y)＝4a＋3b，即y＝4a＋3b，代入①式，得x＝13(a＋2y)＝13(a＋8a＋6b)＝3a＋2b，∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.12.如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．证明：∵F、G分别是AB、AC的中点，∴FG→＝12BC→.同理，EH→＝12BC→.∴FG→＝EH→.∴四边形EFGH为平行四边形．13．已知△ABC中，AB→＝a，AC→＝b.对于平面ABC上任意一点O，动点P满足OP→＝OA→＋λa＋λb，λ∈[0，＋∞)．试问动点P的轨迹是否过△ABC内的某一个定点？说明理由．解：以AB，AC为邻边作▱ABDC，设对角线AD、BC交于点E，AE→＝12AD→＝12(a＋b)．由OP→＝OA→＋λa＋λb得到OP→－OA→＝AP→＝2λ·12(a＋b)＝2λAE→，λ∈[0，＋∞)，∴AP→与AE→共线．由λ∈[0，＋∞)知道动点P的轨迹是射线AE，∴必过△ABC的重心．1．向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题．3．用已知向量表示其他向量的方法2019-2020年高中数学2.2.3向量的数乘练习（含解析）苏教版必修4情景：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)(与已知向量a相比)．思考：相加后和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？1．实数λ与向量a的积是一个向量，记作________．答案：λa2．|λa|＝________．答案：|λ||a|3．当________时，λa与a方向相同；λ＜0时，λa与a方向________；当________时，λa＝0(a≠0)．答案：λ＞0相反λ＝04．实数与向量的积的运算律中，结合律是________，它的几何意义是__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：λ(μa)＝(λμ)a将表示向量a的有向线段先伸长或压缩|μ|倍，再伸长或压缩|λ|倍，与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λμ|倍所得结果相同5．第一分配律是________，几何意义是___________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：(λ＋μ)a＝λa＋μa将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ|倍后，再与表示向量a的有向线段伸长或压缩|μ|倍后相加，和直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ＋μ|倍所得结果相同6．第二分配律是________，几何意义是___________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：λ(a＋b)＝λa＋λb将表示向量a、b的有向线段先相加，再伸长或压缩|λ|倍，与将表示向量a、b的有向线段先伸长或压缩|λ|倍，再相加所得结果相同7．向量b与非零向量a共线的等价条件是__________________________________________________________．答案：存在唯一实数λ使b＝λa8．向量线性运算是指向量的________运算，几何意义是__________________________________________________________．答案：加、减、数乘将表示两个向量a，b的有向线段先分别伸长或缩短|μ1|，|μ2|倍，再相加(或相减)，最后再伸长或缩短|λ|倍，与将表示这两个向量a，b的有向线段先分别伸长或缩短|λμ1|，|λμ2|倍，再相加(或相减)所得的结果相同9．与非零向量a共线的单位向量是________．答案：±a|a|实数与向量的积实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．实数与向量的积的定义可以看做是数与数的积的概念的推广．数与向量的积还是一个向量，λa与a同向(λ＞0)或反向(λ＜0)时，判断两个向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数和其中的一个向量的积能够把另一个向量表示出来．向量数乘运算律设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.实数与向量的积的运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律相似，只是实数乘向量的分配律由于因子的不同可分为：第一分配律，即(λ＋μ)a＝λa＋μa；第二分配律，即λ(a＋b)＝λa＋λb.共线向量定理如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.基础巩固1．设λ、μ∈R，下面叙述不正确的是()A．λ(μa)＝(λμ)aB．(λ＋μ)a＝λa＋μaC．λ(a＋b)＝λa＋λbD．λa与a的方向相同(λ≠0)答案：D2．|a－b|＝|a|＋|b|(b≠0)成立的等价条件是()A．b＝λa且λ∈(－∞，0)B．a＝λb且λ∈[0，＋∞)C．b＝λa且λ∈(－∞，0]D．a＝λb且λ∈(－∞，0]答案：D3．在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，若BE→＝mAB→＋nAC→，则m＋n＝________．解析：如图，BE→＝AE→－AB→＝12AD→－AB→＝12(AB→＋BD→)－AB→＝－12AB→＋12BD→＝－12AB→＋14BC→＝－12AB→＋14(AC→－AB→)＝－34AB→＋14AC→.∴m＝－34，n＝14.∴m＋n＝－12.答案：－124．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是________．答案：共线5．若a，b是已知向量，且13(3a－2c)＋414c－b＋a＋6b＝0，则c＝________．答案：－6(a＋b)6．已知向量a、b不共线，实数x、y满足等式5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝_______，y＝_______．答案：3－47．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA→－2015OB→＋2014OC→＝0，则|AB→||BC→|＝________．答案：xx8．化简：7612a＋37b＋7