向量在立体几何中教与学的探究大学毕业论文

毕业论文课题名称：向量在立体几何中教与学的探究教学系：数学系专业：数学教育班级：10级数学教育（4）班学号：131002151姓名：郭朋强指导教师：连玉平时间：2013年5月15日定西师范高等专科学校10级数学系毕业论文开题报告专业班级:数学教育四班姓名:郭朋强指导教师:连玉平一论文题目:向量在立体几何中教与学的探究二选题依据:向量既是“代数”的，又是“几何”的，向量从运算的角度促进了代数和几何的联系，也促进了“数”与“型”的结合，所以整体把握知识点的基本结构，理解和掌握向量的多种运算形式，有助于学生更好地记忆知识进而运用知识。三相关理论研究综述:向量从运算的角度促进了代数和几何的联系，也促进了“数”与“型”的结合，所以整体把握知识点的基本结构，理解和掌握向量的多种运算形式，有助于学生更好地记忆知识进而运用知识。四研究方法:本文尝试在对向量的基础知识的掌握，向量运用的推广，对向量教学的探讨这三个方面作一些较深入的整理和研究．以加深对向量的工具性作用的认识，推广向量法．五论文结构:一、摘要二、预备知识三、例题证明四、小结五、参考文献六撰写计划:充分运用有关数学思想，寻求向量灵活多样的运算思路，深入挖掘题目中的隐含条件，寻找与设计立体图形运用向量合理﹑简捷的运算途径。在向量运算中，学生思维受阻的一个重要原因往往是对向量的代数式﹑坐标式和几何表示这三种运算形式缺少整体的把握，所以在运算求解时应引导学生实现向量运算形式相互间的有效转换。运用转化﹑方程﹑数形结合的数学思想，实现向量运算形式相互间的有效转化。让学生利用抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。目录摘要...........................................................................................................1关键词.........................................................................................................1一、预备知识............................................................................................2二、例证说明............................................................................................21、以具体的例子来阐述怎样运用向量解决角与距离问题............22、用具体的例子来说明用向量解决角的问题................................43、用具体的例子来看法向量的应用................................................54、用具体例子说明向量与平行有关的探索性问题........................85、用具体例子说明向量与角有关的探索性问题............................96、用具体例子来说明向量与距离有关的探索性问题..................10参考文献:.................................................................................................121向量在立体几何中教与学的探究郭朋强（定西师范高等专科学校数学系，甘肃定西743000）[摘要]向量既是“代数”的，又是“几何”的，向量从运算的角度促进了代数和几何的联系，也促进了“数”与“型”的结合，所以整体把握知识点的基本结构，理解和掌握向量的多种运算形式，有助于学生更好地记忆知识进而运用知识。充分运用有关数学思想，寻求向量灵活多样的运算思路，深入挖掘题目中的隐含条件，寻找与设计立体图形运用向量合理﹑简捷的运算途径。在向量运算中，学生思维受阻的一个重要原因往往是对向量的代数式﹑坐标式和几何表示这三种运算形式缺少整体的把握，所以在运算求解时应引导学生实现向量运算形式相互间的有效转换。运用转化﹑方程﹑数形结合的数学思想，实现向量运算形式相互间的有效转化。让学生利用抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。但调查表明受传统数学知识的负迁移，无论是对向量的基础知识的掌握，还是向量运用的推广，甚至对向量教学的探讨都是今后一个艰难的课题．本文尝试在这三个方面作一些较深入的整理和研究．以加深对向量的工具性作用的认识，推广向量法．[关键词]向量的垂直共线平行方法分析例证说明提高空间想象力有效途径[Abstract]Thevectorisaalgebra,andanotherisgeometry,andvectorfromacomputingpointofviewofalgebraandgeometryforthelink,butalsotopromotethenumberandtypecombination,theoverallgraspofthebasicstructureofknowledgepointstounderstandandmasteravarietyofvectoroperationforms,canhelpstudentstobettermemoryofknowledgeandthenapplyknowledge.Makefulluseofthemathematicalideas,seekingflexiblecomputingvectorideas,digthetitleoftheimpliedconditionthattheuseofsearchanddesignofthree-dimensionalvectorgraphicsandreasonablecomputing﹑simpleway.Inthevectoroperation,thestudent'sthinkingisoftenanimportantreasonfordelayisthevectorofalgebraicandgeometricstyle﹑coordinatesofthesethreeoperations,saidthelackofanoverallgraspoftheform,itshouldbetoguidestudentsinsolvingcomputingvectoroperationstoachieveaneffectiveformofinter-conversion.Theuseoftransformationequationssomelinesofcombinationmathematicalideastorealizetheformofvectoroperationsbetweentheeffectiveconversions.Allowstudentstousethe2combinationofabstractthinkingandthinkinginimages,throughtohelpshapethenumberofandthenumberofsolution-shapedsothatsimplifycomplexproblems,abstracttheproblemspecific,andthusservethepurposeofoptimizationproblem-solvingapproach.Butthesurveyshowsthatthenegativebythetraditionalmathematicalknowledgetransfer,eitherformasteryofbasicknowledgeofvector,orvectorusedtopromote,oreventheteachingofvectorisadifficulttaskinthefuture.Thispaperattemptstointhesethreeareastomakesomemorein-depththecollationandresearch.Toenhancetheroleofthevectorofinstrumentalknowledge,promotevectormethod.[Keywords]VectorisverticalSharelineItisparallelMethodisanalysesIllustrationexplainsRaisespaceimaginationEffectivechannel一、预备知识1、用向量解决立体几何中距离和角的问题2、例谈法向量在立体几何中的应用3、与平行有关的探索性问题4、与角有关的探索性问题5、与距离有关的探索性问题二、例证说明1、以具体的例子来阐述怎样运用向量解决角与距离问题①异面直线a、b的距离可先设a、b的公垂线段EF(aE、bF)，再由垂直向量性质得00aEFbEF，从而得到E、F的坐标，最后算出所求EF.【例1】正方体1111DCBAABCD的边长为1，求异面直线CA1、BD的距离？【分析】从正方体条件得，运用坐标向量的方法较好.建立直角坐标系，设EF是所求的公垂线，BCDAC1D1AyxzEF3令BE=BD、11AFkAC，则BE=(1，1，0)，E的坐标为(1，，0)，同理kkkF1,,，再由0EFBD、10EFAC，算得21、32k，最后算出EF、66EF.在此题中，求垂足E的坐标的方法和例1中求垂足H的方法相同，都是先根据向量共线性质(ba)设得E的坐标，然后根据向量垂直性质(0bc)列式，最后算出，从而得到E坐标.这个方法不但能求出直线上的点的坐标，也能求出空间向量的表示式，是向量运用中常用的一个小技巧.②点P到平面的距离h先设平面的斜线为PAA，再求的法向量n，运用向量平移，不难得到推论“h等于PA法向量n上的射影nPAn的绝对值”，即PAnhn，最后由此算出所求距离.【例2】正四棱柱1111DCBAABCD，1AB，21AA，E是1CC的中点，求点1D到平面BDE的距离.【分析】如图建立直角坐标系，得各点坐标，设平面BDE的法向量为n=(,,)xyz由00nDEnDB，得00yxzy；令1y，得法向量(1,1,1)n∴1DE在n上的投影为1233nDEn，∴点1D到平面BDE的距离为332.EABCDA1B1C1D1yxz4此类题目，是在立体几何学习中的必须解决的重点题和难题，传统的解题方法很多，也很复杂。运用平面法向量的知识，能直接算出所求距离，避免繁复的逻辑推理。2、用具体的例子来说明用向量解决角的问题求二面角的大小已知二面角α—l—β，12,nn分别是平面α和平面β的一个法向量，设二面角α—l—β的大小为θ，规定0≤θ≤π，则12,nn(这里若平面α的法向量是二面角的内部指向平面α内的一点，则平面β的法向量必须是由平面β内的一点指向二面角的内部，如图2-1，否则从二面角内部一点出发向两个半平面作法向量时，二面角12,nn，如图2-2)二面角的大小(如右图)，也可用两个向量所成的夹角表示，在、上分别作棱的垂线AB、CD(A、C)，从图中可知：等于AB、CD所成的角.【例3】三棱柱111BAOOAB，11OBBOOAB平面平面，601OBO，90AOB且21OOOB，3OA，求：二面角OABO1的余弦值