江苏省盐城市、南京市2015届高三下学期二模数学试卷-Word版含解析

2015年江苏省盐城市、南京市高考数学二模试卷一、填空题1．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是．2．已知复数z=（2﹣i）（1+3i），其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第象限．3．如图是一个算法流程图，如果输入x的值是，则输出S的值是．4．某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104]上的产品件数是．5．袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是．6．如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（λ，μ∈R），则λ+μ=．7．已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β，②若α∥β，m∥α，n∥β，则m||n，③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的是．（填写所有真命题的序号）．8．如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B=60°，AD=2，AC=，DC=，则AB=．9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，定点A（2，0），若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN=．10．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，且数列{}也为等差数列，则a13=．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．12．在平面直角坐标系xOy中已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M．若OA=OM，则直线AB的斜率为．13．已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，则tanα的最大值是14．已知函数f（x）=，当x∈[0，100]时，关于x的方程f（x）=x﹣的所有解的和为．二、解答题15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC=．（1）若•=，求△ABC的面积；（2）设向量=（2sin，），=（cosB，cos），且∥，求sin（B﹣A）的值．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=CD=AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．17．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？18．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=2，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．19．已知函数f（x）=1+lnx﹣，其中k为常数．（1）若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）若k=5，求证：f（x）有且仅有两个零点；（3）若k为整数，且当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．20．给定一个数列{an}，在这个数列里，任取m（m≥3，m∈N*）项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列{an}的一个m阶子数列．已知数列{an}的通项公式为an=（n∈N*，a为常数），等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3子阶数列．（1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，且b1=（k为常数，k∈N*，k≥2），求证：m≤k+1（3）等比数列c1，c2，…，cm是{an}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，求证：c1+c1+…+cm≤2﹣．三、选修4-1；几何证明选讲21．如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F．已知AD为∠BAC的平分线，求证：EF∥BC．四、选修4-2：矩阵与变换22．已知矩阵A=，A的逆矩阵A﹣1=（1）求a，b的值；（2）求A的特征值．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C：（s为参数），直线l：（t为参数）．设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．六、选修4-5：不行等式选讲24．已知x，y，z都是正数且xyz=1，求证：（1+x）（1+y）（1+z）≥8．25．甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．26．已知m，n∈N*，定义fn（m）=（1）记am=f6（m），求a1+a2+…+a12的值；（2）记bm=（﹣1）mmfn（m），求b1+b2+…+b2n所有可能值的集合．2015年江苏省盐城市、南京市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是π．考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期．解答：解：∵sin2x=2sinxcosx∴f（x）=sinxcosx=sin2x，因此，函数f（x）的最小正周期T==π故答案为：π点评：本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题．2．已知复数z=（2﹣i）（1+3i），其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第一象限．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：复数z=（2﹣i）（1+3i）=5+5i，复数z在复平面上对应的点（5，5）位于第一象限．故答案为：一．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．如图是一个算法流程图，如果输入x的值是，则输出S的值是﹣2．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解答：解：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出S=的值，当x=时，S==﹣2，故答案为：﹣2点评：本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键．4．某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104]上的产品件数是55．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出对应的频数即可．解答：解：根据频率分布直方图，得；净重在区间[100，104]上的产品频率是（0.150+0.125）×2=0.55，∴对应的产品件数是100×0.55=55．故答案为：55．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．5．袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：一共有8种不同的结果，“3次摸球所得总分为低于4分”为事件A，事件A包含的基本事件为：（黑、黑、黑），由此利用对立事件概率计算公式能求出3次摸球所得总分至少是4分的概率．解答：解：一共有8种不同的结果，列举如下：（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）“3次摸球所得总分为低于4分”为事件A事件A包含的基本事件为：（黑、黑、黑），∴3次摸球所得总分至少是4分的概率：p=1﹣p（A）=1﹣=．故答案为：．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数事件概率计算公式的合理运用．6．如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（λ，μ∈R），则λ+μ=．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：，，可得．由E为线段AO的中点，可得，再利用平面向量基本定理即可得出．解答：解：∵，，∴，∵E为线段AO的中点，∴，∴，2μ=，解得μ=，∴λ+μ=．故答案为：．点评：本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β，②若α∥β，m∥α，n∥β，则m||n，③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的是③④．（填写所有真命题的序号）．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．解答：解：对于①，若m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能平行，故①错误；对于②，若α∥β，m∥α，n∥β，则m与n的位置关系有：平行、相交或者异面，故②错误；对于③，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可以判断α⊥β，故③正确；对于④，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，利用面面垂直、线面垂直的性质定理可以得到m⊥n；故④正确；故答案为：③④点评：本题考查了线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理．8．如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B=60°，AD=2，AC=，DC=，则AB=．考点：解三角形的实际应用．专题：综合题；解三角形．分析：利用余弦定理求出∠ADB=45°，再利用正弦定理，即可求出AB．解答：解：由题意，cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=135°，∴∠ADB=45°，∵∠B=60°，AD=2，∴，∴AB=，故答案为：．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，定点A（2，0），若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN=1：3．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得FM=PM．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到PN=2PM，进而算出MN=3PM，由此即可得到FM：MN的值．解答：解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0），∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得FM=PM，∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得PN=2PM，得MN=3PM因此可得FM：MN=PM：MN=1：3．故答案为：1：3．点评：本题给出抛物线方程和