高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解

高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解一、选择题1．(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()A．y＝x＋x3(x∈R)B．y＝3x(x∈R)C．y＝－log2x(x0，x∈R)D．y＝－1x(x∈R，x≠0)[答案]A[解析]首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C，若x＝0在定义域内，则应有f(0)＝0，排除B；又函数在定义域内单调递增，排除D，故选A.(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是()A．f(x)＝sinxB．f(x)＝－|x＋1|C．f(x)＝12(ax＋a－x)D．f(x)＝ln2－x2＋x[答案]D[解析]y＝sinx与y＝ln2－x2＋x为奇函数，而y＝12(ax＋a－x)为偶函数，y＝－|x＋1|是非奇非偶函数．y＝sinx在[－1,1]上为增函数．故选D.2．(2010·安徽理，4)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1B．1C．－2D．2[答案]A[解析]f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1，故选A.3．(2010·河北唐山)已知f(x)与g(x)分别是定义在R上奇函数与偶函数，若f(x)＋g(x)＝log2(x2＋x＋2)，则f(1)等于()A．－12B.12C．1D.32[答案]B[解析]由条件知，f1＋g1＝2f－1＋g－1＝1，∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∴f1＋g1＝2g1－f1＝1，∴f(1)＝12.4．(文)(2010·北京崇文区)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－1fx，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝()A．4.5B．－4.5C．0.5D．－0.5[答案]D[解析]∵f(x＋2)＝－1fx，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1fx＋2＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.(理)(2010·山东日照)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，则f(x)在[2,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数[答案]A[解析]由f(x＋2)＝f(x)得出周期T＝2，∵f(x)在[－1,0]上为减函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数，从而f(x)在[2,3]上为增函数．5．(2010·辽宁锦州)已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g(x)＝f(x)＋2，则g(x)的最大值与最小值之和为()A．0B．2C．4D．不能确定[答案]C[解析]∵f(x)是定义在[－a，a]上的奇函数，∴f(x)的最大值与最小值之和为0，又g(x)＝f(x)＋2是将f(x)的图象向上平移2个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大值与最小值都大2，故其和为4.6．定义两种运算：a⊗b＝a2－b2，a⊕b＝|a－b|，则函数f(x)＝2⊗xx⊕2－2()A．是偶函数B．是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案]B[解析]f(x)＝4－x2|x－2|－2，∵x2≤4，∴－2≤x≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．则f(x)＝4－x2－x，f(x)＋f(－x)＝0，故选B.7．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log123)，c＝f(0.20.6)，则a、b、c的大小关系是()A．cbaB．bcaC．bacD．abc[答案]C[解析]由题意知f(x)＝f(|x|)．∵log47＝log271，|log123|＝log23log27，00.20.61，∴|log123||log47||0.20.6|.又∵f(x)在(－∞，0]上是增函数，且f(x)为偶函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．∴bac.故选C.8．已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x＋1)＝1＋fx1－fx，则f(2011)等于()A．2B．－3C．－12D.13[答案]C[解析]由条件知，f(2)＝－3，f(3)＝－12，f(4)＝13，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x)(x∈N*)．∴f(x)的周期为4，故f(2011)＝f(3)＝－12.[点评]严格推证如下：f(x＋2)＝1＋fx＋11－fx＋1＝－1fx，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f(x)．即f(x)周期为4.故f(4k＋x)＝f(x)，(x∈N*，k∈N*)，9．设f(x)＝lg21－x＋a是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是()A．(－1,0)B．(0,1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案]A[解析]∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝－1.∴f(x)＝lgx＋11－x，由f(x)0得0x＋11－x1，∴－1x0，故选A.10．(文)(09·全国Ⅱ)函数y＝log22－x2＋x的图象()A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称[答案]A[解析]首先由2－x2＋x0得，－2x2，其次令f(x)＝log22－x2＋x，则f(x)＋f(－x)＝log22－x2＋x＋log22＋x2－x＝log21＝0.故f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选A.(理)函数y＝xsinx，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()[答案]C[解析]∵y＝xsinx是偶函数，排除A，当x＝2时，y＝2sin22，排除D，当x＝π6时，y＝π6sinπ6＝π31，排除B，故选C.二、填空题11．(文)已知f(x)＝sinπxx0fx－1－1x0，则f－116＋f116的值为________．[答案]－2[解析]f116＝f56－1＝f－16－2＝sin－π6－2＝－52，f－116＝sin－11π6＝sinπ6＝12，∴原式＝－2.(理)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝12对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.[答案]0[解析]∵f(x)的图象关于直线x＝12对称，∴f12＋x＝f12－x，对任意x∈R都成立，∴f(x)＝f(1－x)，又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－f(1＋x)＝f(－1－x)＝f(2＋x)，∴周期T＝2∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝0又f(1)与f(0)关于x＝12对称∴f(1)＝0∴f(3)＝f(5)＝0填0.12．(2010·深圳中学)已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式fxgx0的解集是________．[答案]－π3，0∪π3，π[解析]依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、g(x)的图象，∵fxgx0，∴fx0gx0，或fx0gx0，观察两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在x轴下方的，即满足要求，∴－π3x0或π3xπ.13．(文)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝2对称，且当x∈(－2,2)时，f(x)＝－x2＋1.则f(－5)＝________.[答案]0[解析]由题意知f(－5)＝f(5)＝f(2＋3)＝f(2－3)＝f(－1)＝－(－1)2＋1＝0.(理)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当－1≤x≤1时，f(x)＝a，当x≥1时，f(x)＝(x＋b)2，则f(－3)＋f(5)＝________.[答案]12[解析]∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，∵－1≤x≤1时，f(x)＝a，∴a＝0.∴f(1)＝(1＋b)2＝0，∴b＝－1.∴当x≤－1时，－x≥1，f(－x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2，∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－(x＋1)2，∴f(x)＝－x＋12x≤－10－1≤x≤1x－12x≥1∴f(－3)＋f(5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.[点评]求得b＝－1后，可直接由奇函数的性质得f(－3)＋f(5)＝－f(3)＋f(5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.14．(文)(2010·山东枣庄模拟)若f(x)＝lg2x1＋x＋a(a∈R)是奇函数，则a＝________.[答案]－1[解析]∵f(x)＝lg2x1＋x＋a是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，即lg2x1＋x＋a＋lg－2x1－x＋a＝lg2x1＋x＋a2xx－1＋a＝0.∴2x1＋x＋a2xx－1＋a＝1，∴(a2＋4a＋3)x2－(a2－1)＝0，∵上式对定义内的任意x都成立，∴a2＋4a＋3＝0a2－1＝0，∴a＝－1.[点评]①可以先将真数通分，再利用f(－x)＝－f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些．②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f(x)＝lga＋2x＋a1＋x为奇函数，显然x＝－1不在f(x)的定义域内，故x＝1也不在f(x)的定义域内，令x＝－aa＋2＝1，得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．(理)(2010·吉林长春质检)已知函数f(x)＝lg－1＋a2＋x为奇函数，则使不等式f(x)－1成立的x的取值范围是________．[答案]1811x2[解析]∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，∴lg－1＋a2－x＋lg－1＋a2＋x＝lg－1＋a2－x－1＋a2＋x＝0，∴－1＋a2－x－1＋a2＋x＝1，∵a≠0，∴4－ax2－4＝0，∴a＝4，∴f(x)＝lg－1＋42＋x＝lg2－xx＋2，由f(x)－1得，lg2－x2＋x－1，∴02－x2＋x110，由2－x2＋x0得，－2x2，由2－x2＋x110得，x－2或x1811，∴1811x2.三、解答题15．(2010·杭州外国语学校)已知f(x)＝x2＋bx＋c为偶函数，曲线y＝f(x)过点(2,5)，g(x)＝(x＋a)f(x)．(1)若曲线y＝g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；(2)若当x＝－1时函数y＝g(x)取得极值，且方程g(x)＋b＝0有三个不同的实数解，求实数b的取值范围．[解析](1)由f(x)为偶函数知b＝0，又f(2)＝5，得c＝1，∴f(x)＝x2＋1.∴g(x)＝(x＋a)(x2＋1)＝x3＋ax2＋x＋a，因为曲线y＝g(x)有斜率为0的切线，所以g′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0有实数解．∴Δ＝4a2－12≥0，解得a≥3或a≤－3.(2)由题意得g′(－1)＝0，得a＝2.∴g(x)＝x3＋2x2＋x＋2，g′(x)＝3x2＋4x＋1＝(3x＋1)(x＋1)．令g′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝－13.∵当x∈(－∞，－1)时，g′(x)0，当x∈(－1，－13)时，g′(x)0，当x∈(－13，＋∞)时，g′(x)0，∴g(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝－13处取得极小值．又∵g(－1)＝2，g(－13)＝5027，且方程g(x)＋b＝0即g(x)＝－b有三个不同的实数解，∴5027－b2，解得－2b－5027.16．(