函数周期性专题

第七讲：函数的周期性与对称性（一）【知识梳理】：1.周期函数的定义：对于()fx定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()fxTfx恒成立，则称函数()fx具有周期性，T叫做()fx的一个周期，则kT（,0kZk）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫()fx的最小正周期.2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）,1）fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；2）fxafx，则xf是以2Ta为周期的周期函数；3）(0)kfxakfx，则xf是以2Ta为周期的周期函数；4）()()()fxfxafax若函数是偶函数，且，则xf是以2Ta为周期的周期函数；5）()()()fxfxafax若函数是奇函数，且，则xf是以4Ta为周期的周期函数；3.对称性：（1）函数关于原点对称即奇函数：()()fxfx（2）函数关于y对称即偶函数：()()fxfx（3）函数关于直线xa对称：()()fxafax（二）典例分析：例1.（安徽卷）函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff__________(2)已知定义在R上的奇函数()fx满足(2)()fxfx，则(6)f的值为_________例2：设()fx是定义在R上以6为周期的函数，()fx在(0,3)内单调递减，且()yfx的图像关于直线3x对称，则下面正确的结论是.A(1.5)(3.5)(6.5)fff.B(3.5)(1.5)(6.5)fff.C(6.5)(3.5)(1.5)fff.D(3.5)(6.5)(1.5)fff例3.已知函数)x(f满足2015(1)2,(x2)(x)fff，则(3)f-(9)f的值为例4.已知()fx是定义在实数集R上的函数，满足(2)()fxfx，且[0,2]x时，2()2fxxx.1求[2,0]x时，()fx的表达式；2证明()fx是R上的奇函数．例5.()fx是定义域在R上的奇函数，且其图像关于直线12x对称，则(1)(2)(3)(4)(5)fffff=例6.22(0)()(0)xxxfxxxx已知，则(2016)(2015)(2014)(2015)(2016)fffff=三．【巩固提高】1.设函数fx（xR）是以3为周期的奇函数，且11,2,ffa则（）A.a2B.a-2C.a1D.a-12.（2006山东）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(10)的值为()A.－1B.0C.1D.23．函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f（x）在［－1，0］上是减函数，那么f（x）在［2，3］上是()A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函4．已知定义在R上的函数)(xf是偶函数，对2)3()2()2(fxfxfRx，当有都时，)2007(f的值为（）A．2B．4C．－2D．－45.若已知()fx是R上的奇函数，且满足(4)()fxfx，当0,2x时，2()2fxx，则(7)f等于.A2.B2.C98.D986.已知定义在R上的函数()fx满足3()2fxfx，且23f，则(2014)f7.设偶函数()fx对任意xR，都有1(3)()fxfx，且当3,2x时，()2fxx，则(113.5)f.A27.B27.C15.D158．已知()fx是定义在R上的奇函数，满足(2)()fxfx，且[0,2]x时，2()2fxxx.1求证：()fx是周期函数；2当[2,4]x时，求()fx的表达式；3计算(1)(2)(3)(2013)ffff.四．【课后练习】1、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=—f(x)，则f(6)的值为()A．—1B．0C．1D．22、设f（x）定义域为R，且对任意实数x,2(3)()fxfx恒成立，f（x）在(0,3)内单调递减，且该函数的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）A、1.53.56.5fff；B．3.51.56.5fff；C．6.53.51.5fff；D．3.56.51.5fff3、设函数fx（xR）是以3为周期的奇函数，且11,2ffa，则（）.A2a.B2a.C1a.D1a4、定义域在R的函数()fx既是的偶函数，又关于1x对称，若()fx在1,0上是减函数，那么()fx在2,3上是（）.A增函数.B减函数.C先增后减函数.D先减后增函数5、()fx定义域为R，且对任意xR都有()1(1)1()fxfxfx成立，若212f则f(2009)=__________