高考数学大题练习

1高考数学大题1．（12分）已知向量a=（sinθ，cosθ-2sinθ），b=（1，2）（1）若a⊥b，求tanθ的值；（2）若a∥b，且θ为第Ⅲ象限角，求sinθ和cosθ的值。2．(12分)在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点.(I)求证：CM⊥EM：高考资源网(Ⅱ)求DE与平面EMC所成角的正切值.3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.(Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率.高考资源网4．（12分）在△ABC中，∠A．∠B．∠C所对的边分别为a．b．c。若BAcoscos=ab且sinC=cosA高考资源网（1）求角A．B．C的大小；（2）设函数f(x)=sin（2x+A）+cos（2x-2C）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。5．（13分）已知函数f(x)=x+xa的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M，N.高考资源网（1）求a的值；（2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由：（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值。6．（13分）设函数f(x)=p(x-x1)-2lnx,g(x)=xe2(p是实数，e为自然对数的底数)（1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（2）若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p的值；（3）若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)＞g(x0)成立，求p的取值范围.高考资源网27.(12分)设P:函数y=ax2－2x+1在［1,+∞)内单调递减,Q：曲线y=x2－2ax+4a+5与x轴没有交点；如果“﹁P或Q”为真，“﹁P且Q”为假，求a的取值范围.高考资源网8.（12分）从集合1,2,3,4,5的所有非空子集．．．．中，等可能地取出一个。(Ⅰ)记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；(Ⅱ)记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望E高考资源网9.（12分）已知函数1()ln(1),01xfxaxxx，其中0a若()fx在x=1处取得极值，求a的值；求()fx的单调区间；高考资源网（Ⅲ）若()fx的最小值为1，求a的取值范围。10.（12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)xx万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？高考资源网11.（12分）若()fx是二次函数，不等式()0fx的解集是(0,5),且()fx在区间1,4上的最大值是12；高考资源网（I）求()fx的解析式；（II）是否存在实数,m使得方程37()0fxx在区间(,1)mm内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。12.（14分）已知函数2()(1)fxx，数列na是公差为d的等差数列，nb是公比为q（,1qRq）的等比数列.若1(1),afd3(1),afd1(1),bfq3(1).bfq(Ⅰ)求数列na，nb的通项公式；高考资源网(Ⅱ)若nc对nN，恒有312112323nnnccccabbbnb，求13521ncccc的值；(Ⅲ)试比较3131nnbb与12nnaa的大小.答案：31．解：（1）a⊥bsin+2cos-4sin=0tan=32………6分（2）a∥b2sin-(cos-2sin)=0tan=41高考资源网sin=-1717cos=-17174………………………6分2．解析：本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理能力.方法一：(I)证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CM⊥AB.又EA⊥平面ABC，所以CM⊥EM.(Ⅱ)解：连结MD,设AE=,则BD=BC=AC=2,在直角梯形EABD中,AB=,M是AB的中点,所以DE=3,EM=,MD=因此DM⊥EM,因为CM⊥平面EMD,所以CM⊥DM,因此DM⊥平面EMC,故∠DEM是直线DE和平面EMC所成的角.在Rt△EMD中,MD=EM=,tan∠DEM=方法二：如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，.，.（I）证明：因为，，高考资源网所以，故.（II）解：设向量与平面EMC垂直，则n⊥,n⊥,即n·=0,n·=0.因为,,所以y0=﹣1,z0=﹣2,即n=(1,﹣1,﹣2).因为=(),高考资源网4cos＜n,＞=DE与平面EMC所成的角θ是n与夹角的余角，所以tanθ=.3．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)=0.6,P(B)=0.75.（Ⅰ）解法一任选1名下岗人员，该人没有参加培训的概率是P1=P(·)＝P()·P()=0.4×0.25＝0.1.所以该人员参加过培训的概率是1－P1＝1－0.1＝0.9.高考资源网解法二任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是P2=P(A·)＋P（·B）＝0.6×0.25＋0.4×0.75＝0.45.该人参加过两项培训的概率是P1＝P（A·B）＝0.6×0.75＝0.45.所以该人参加过培训的概率是P2＋P1＝0.45＋0.45＝0.9.（Ⅱ）解法一任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是P4＝×0.92×0.1＝0.243.3人都参加过培训的概率是P5＝0.93＝0.729.所以3人中至少有2人参加过培训的概率是P4+P5=0.243+0.729=0.972.解法二任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是×0.9×0.12＝0.027.3人都没有参加过培训的概率是0.13＝0.001.所以3人中至少有2人参加过培训的概率是1－0.027－0.001＝0.972.4．解：（1）由abBAcoscos结合正弦定理得ABBAsinsincoscos，则sin2A=sin2B,则在三角形中有A=B，或A+B=2当A=B时，由sinC=cosA得cosA=sin2A=2sinAcosA得sinA=21或cosA=0（舍）∴A=B=6，C=32当A+B=2时，由sinC=cosA得cosA=1（舍）综上：∴A=B=6，C=32……………………………………………………（6分）（2）由（1）知f(x)=sin(2x+6)+cos(2x-3)=sin(2x+6)+cos(-2+2x+6)=2sin(2x+6)5由2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2得kπ-3≤x≤kπ+6（k∈Z）所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-3,kπ+6]（k∈Z）……………（6分）相邻两对称轴间的距离为2…………………………………………………（1分）5．解（1）∵f(2)=2+2a=2+22，∴a=2………………………………（3分）（2）设点P的坐标为（x0,y0），则有y0=x0+02x,x0＞0高考资源网由点到直线的距离公式可知：|PM|=2||00yx=01x，|PN|=x0,故有|PM|·|PN|=1，即|PM|·|PN|为定值，这个值为1…………………（5分）（3）由题意可设M(t,t)，可知N(0,y0).∵PM与直线y=x垂直，∴kPM·1=-1，即txty00=-1，解得t=21（x0+y0），又y0=x0+02x∴t=x0+022x.∴S△OPM=2021x+22，S△OPN=2120x+22高考资源网∴S△MPN=S△OPM+S△OPN=21（20x+201x）+2≥1+2当且仅当x0=1时，等号成立。∴此时四边形OMPN面积有最小值1+2……………………………………（5分）6．（1）∵f’(x)=222xpxpx，要使f(x)为单调增函数，须f’(x)≥0恒成立，即px2-2x+p≥0恒成立，即p≥122xx=xx12恒成立，又xx12≤1，所以当p≥1时，f(x)在(0,+∞)为单调增函数。6要使f(x)为单调减函数，须f’(x)≤0恒成立，即px2-2x+0≤0恒成立，即p≤122xx=xx12恒成立，又xx12＞0，所以当p≤0时，f(x)在(0,+∞)为单调减函数。综上所述，f(x)在(0,+∞)为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0…（4分）（2）∵f’(x)=p+xxp22,∴f’(1)=2(p-1)，设直线l：y=2(p-1)(x-1)，y=2(p-1)(x-1)y=xe2当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=(p-1)2-4(p-1)(-e)=0，得p=1-4e，综上，p=1-4e……………………………………………………（4分）（3）因g(x)=xe2在[1，e]上为减函数，所以g(x)∈[2，2e]①当p≤0时，由（1）知f(x)在[1,e]上递减f(x)max=f(1)=0＜2，不合题意②当p≥1时，由（1）知f(x)在[1,e]上递增，f(1)＜2，又g(x)在[1,e]上为减函数，故只需f(x)max＞g(x)min，x∈[1,e]，即：f(e)=p(e-e1)-2lne＞2p＞142ee.③当0＜p＜1时，因x-x1≥0，x∈[1,e]所以f(x)=p(x-x1)-2lnx≤(x-x1)-2lnx≤e-e1-2lne＜2不合题意综上，p的取值范围为（142ee,+∞）……………………………………（5分）7、解：由P知，a=0或,11,0aa解得a≤0.由Q知,Δ=(－2a)2－4(4a+5)0,解得－1a5.“﹁P或Q”为真，“﹁P且Q”为假，∴P与Q一真一假；若P正确，Q不正确，则有.51,0aaa或∴a≤－1.高考资源网若P不正确，Q正确，则有.51,0aa∴0a5.综上可知,a的取值范围为a≤－1或0a5.8、∵l与g(x)图象相切，∴得(p-1)(x-1)=xe,即(p-1)x2-(p-1)x-e=079、解：（Ⅰ）22222'(),1(1)(1)(1)aaxafxaxxaxx高考资源网∵()fx在x=1处取得极值，∴2'(1)0,120,faa即解得1.a（Ⅱ）222'(),(1)(1)axafxaxx∵0,0,xa∴10.ax①当2a时，在区间(0,)'()0,fx上，∴()fx的单调增区间为(0,).②当02a时，由22'()0,'()0,aafxxfxxaa解得由解得∴()),aafxaa2-2-的单调减区间为（0，单调增区间为（，）.（Ⅲ）当2a时，由（Ⅱ）①知，()(0)1;fxf的最小值为高考资源网当02a时，由（Ⅱ）②知，min=f(x)2()(0)1,affa矛盾。综上可知，若()fx得最小值为1，则a的取值范围是[2,).10、解：（Ⅰ）设需要新建n个桥墩，(1)1mnxmx，即n=所以(2)mm