中考数学专题复习-第二十九讲-概率初步

第二十九讲概率初步一、确定性事件与随机事件1.必然事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中_______发生的事件.2.不可能事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中_________发生的事件.一定会一定不会3.随机事件:在一定条件下,_____________________的事件.4.事件的分类:事件可能发生也可能不发生________随机事件必然事件不可能事件__________________二、事件的概率及求法1.随机事件的概率:对于一个随机事件A,我们把刻画其发生___________的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P(A).可能性大小2.概率的求法:如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都_____,事件A包含其中m种结果,那么事件A发生的概率P(A)=.相等___3.事件A发生的概率的取值范围是___________.特别地,(1)当A为必然事件时,P(A)=__.(2)当A为不可能事件时,P(A)=__.(3)当A为随机事件时,_________.4.求概率的方法:用频率估计概率、列举法、列表法、画树状图法.0≤P(A)≤1100P(A)1三、用频率估计概率在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率为P(A)=p,其中p满足0≤p≤1.【自我诊断】(打“√”或“×”)1.不确定事件的概率是0到1(不包括0和1).()2.篮球队员在罚球线投篮一次未投中,该事件是必然事件.()√×3.一个不透明的袋子中有2个白球、3个黄球和1个红球,这些球除颜色不同外其他完全相同,则从袋子中随机摸出一个白球的概率为.()√4.“a是实数,|a|≥0”这一事件是必然事件.()5.抛掷一枚硬币,硬币落地时正面朝上是确定事件.()6.如图,一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形,任意转动这个转盘1次,当转盘停止转动时,指针指向阴影区域的概率是.()√××考点一事件类型及其发生可能性的大小【示范题1】(2017·自贡中考)下列成语所描述的事件为随机事件的是()A.水涨船高B.守株待兔C.水中捞月D.缘木求鱼【思路点拨】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可.【自主解答】选B.水涨船高是必然事件,A不正确;守株待兔是随机事件,B正确;水中捞月是不可能事件,C不正确;缘木求鱼是不可能事件,D不正确.【答题关键指导】判断确定性事件与随机事件的方法(1)事件肯定会发生,是确定性事件;事件根本不会发生,也是确定性事件.(2)对于确定性事件,肯定发生的是必然事件,肯定不会发生的是不可能事件.(3)根据描述事件的句子的正确性,可以判断事件是必然事件或不可能事件.【变式训练】1.(2017·新疆中考)下列事件中,是必然事件的是()A.购买一张彩票,中奖B.通常温度降到0℃以下,纯净的水结冰C.明天一定是晴天D.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯【解析】选B.A购买一张彩票中奖是随机事件;B根据物理学可知0℃以下,纯净的水结冰是必然事件;C明天是晴天是随机事件;D经过路口遇到红灯是随机事件.2.(2017·泰州中考)“一只不透明的袋子共装有3个小球,它们的标号分别为1,2,3,从中摸出1个小球,标号为“4”,这个事件是________.(填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”)【解析】∵袋子中3个小球的标号分别为1,2,3,没有标号为4的球,∴从中摸出1个小球,标号为“4”,这个事件是不可能事件.答案:不可能事件考点二概率的求法【考情分析】求概率是各地中考命题的热点,涉及的方法有列举法、面积法、列表法或树状图法,命题的角度也常与代数、几何、其他学科相结合进行命题,题型多样化,选择题、填空题、解答题都有出现.命题角度1:用列举法求概率【示范题2】(2017·达州中考)从-1,2,3,-6这四个数中任选两数,分别记作m,n,那么点(m,n)在函数y=图象上的概率是________.【思路点拨】把从四个数中任选两数的所有情形都列举出来,看符合要求的情形(积为6)有几种,算出概率.【自主解答】从-1,2,3,-6这四个数中任选两数的情形如下:(-1,2),(-1,3),(-1,-6),(2,3),(2,-6),(3,-6),(2,-1),(3,-1),(-6,-1),(3,2),(-6,2),(-6,3)一共有12种情形,其中积为6的有(-1,-6),(2,3),(-6,-1),(3,2)四种情形,所以点(m,n)在函数y=图象上的概率是答案:命题角度2:用列表法求概率【示范题3】(2017·滨州中考)为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势状况,现从中各随机抽取6株,并测得它们的株高(单位:cm)如下表所示:甲636663616461乙636560636463(1)请分别计算表内两组数据的方差,并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐?(2)现将进行两种小麦优良品种杂交试验,需从表内的甲、乙两种小麦中,各随机抽取一株进行配对,以预估整体配对状况.请你用列表法或画树状图的方法,求所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率.【思路点拨】(1)先计算出平均数,再依据方差公式即可得.(2)列表得出所有等可能结果,由表格得出两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的结果数,依据概率公式求解可得.【自主解答】(1)=(63+66+63+61+64+61)÷6=63.=(63+65+60+63+64+63)÷6=63.[(63-63)2+(66-63)2+(63-63)2+(61-63)2+(64-63)2+(61-63)2]=3[(63-63)2+(65-63)2+(60-63)2+(63-63)2+(64-63)2+(63-63)2]=.∵.∴乙种小麦长势整齐.(2)列表如下6366636164616363,6366,6363,6361,6364,6361,636563,6566,6563,6561,6564,6561,656063,6066,6063,6061,6064,6061,606363,6366,6363,6361,6364,6361,636463,6466,6463,6461,6464,6461,646363,6366,6363,6361,6364,6361,63∴共有36种情况,其中小麦株高恰好都等于各自平均株高(记为事件A)有6种.∴P(A)=.命题角度3:用画树状图求概率【示范题4】(2017·菏泽中考)今年5月,某大型商业集团随机抽取所属的部分商业连锁店进行评估,将抽取的各商业连锁店按照评估成绩分成了A,B,C,D四个等级,并绘制了如下不完整的扇形统计图和条形统计图.根据以上信息,解答下列问题:(1)本次评估随机抽取了多少家商业连锁店?(2)请补充完整扇形统计图和条形统计图,并在图中标注相应数据.(3)从A,B两个等级的商业连锁店中任选2家介绍营销经验,求其中至少有一家是A等级的概率.【思路点拨】(1)根据A级的人数和所占的百分比求出总人数.(2)求出B级的人数所占的百分比,补全图形即可.(3)画出树状图,由概率公式即可得出答案.【自主解答】(1)2÷8%=25(家),即本次评估随机抽取了25家商业连锁店.(2)25-2-15-6=2,2÷25×100%=8%,补全扇形统计图和条形统计图,如图所示:(3)画树状图,共有12个可能的结果,至少有一家是A等级的结果有10个,∴P(至少有一家是A等级)=命题角度4:与统计相结合命题【示范题5】(2017·潍坊中考)某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况,随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试.按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级.学校绘制了如下不完整的统计图.(1)根据给出的信息,补全两幅统计图.(2)该校九年级有600名男生,请估计成绩未达到良好有多少名?(3)某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛,预赛分为A,B,C三组进行,选手由抽签确定分组.甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少?【思路点拨】(1)利用良好的人数除以良好的人数所占的百分比;可得抽查的人数,然后计算出合格的人数和合格人数所占百分比,再计算出优秀人数所占百分比,然后画图即可.(2)计算出成绩未达到良好的男生所占比例,再利用样本代表总体的方法得出答案.(3)利用列表法或画树状图法求出所有可能,进而求出概率.【自主解答】(1)抽取的学生数:16÷40%=40(人);抽取的学生中合格的人数:40-12-16-2=10,合格所占百分比:10÷40=25%,优秀人数所占百分比:12÷40=30%,如图所示:(2)成绩未达到良好的男生所占比例为25%+5%=30%,所以600名九年级男生中有600×30%=180(名).(3)方法一:列表如下甲乙A组B组C组A组(A,A)(A,B)(A,C)B组(B,A)(B,B)(B,C)C组(C,A)(C,B)(C,C)故甲、乙在同一组的概率为.方法二:画树状图如下故甲、乙在同一组的概率为.命题角度5:与其他学科结合命题【示范题6】(2016·聊城中考)如图,随机地闭合开关S1,S2,S3,S4,S5中的三个,能够使灯泡L1,L2同时发光的概率是________.【思路点拨】采用列举法列出所有情况,再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解.【自主解答】从S1到S5中随机地闭合三个,可能是(S1,S2,S3),(S1,S2,S4),(S1,S2,S5),(S1,S3,S4),(S1,S3,S5),(S1,S4,S5),(S2,S3,S4),(S2,S3,S5),(S2,S4,S5),(S3,S4,S5)共10种可能,其中(S2,S3,S4),(S2,S3,S5)能使灯泡同时发光,所以概率为.答案:【答题关键指导】简单事件的概率计算(1)若一次试验中所有的结果数是有限的,并且每一种可能的结果出现的可能性是一样的,这样的概率模型称为等可能模型,等可能模型的概率计算公式为:P(E)=.(2)当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时,通常采用列表法.(3)当一次试验涉及三个因素或三个以上的因素时,通常用画树状图法.【变式训练】1.(2017·济宁中考)将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中,这些球除汉字外无其他差别,每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球,不放回;再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是()【解析】选B.画树状图为:共有12种等可能的结果数,其中两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的结果数为2,所以两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率=2.(2017·威海中考)甲、乙两人用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成面积相等的3个扇形)做游戏.游戏规则:转动两个转盘各一次,当转盘停止后,指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜;数字之和为奇数时乙获胜.若指针落在分界线上,则需要重新转动转盘.甲获胜的概率是()【解析】选C.如图所示:数字之和为偶数的情况有5种,因此甲获胜的概率为,3.(2017·德州中考)淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生,在5月份进行的物理、化学、生物实验技能考试中,考试科目要求三选一,并且采取抽签方式取得,那么他们两人都抽到物理实验的概率是________.【解析】列表如下物理化学生物物理(物理,物理)(物理,化学)(物理,生物)化学(化学,物理)(化学,化学)(化学,生物)生物(生物,物理)(生物,化学)(生物,生物)∴两人都抽到物理实验的概率是.答案:考点三用频率估计概率【示范题7】(2017·兰州中考)一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球,其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中小球的个数n为()A.20B.24C.28D.30【思路点拨】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%,然后根据概率公式计算n的值.【解析】选D.根据题意得=