复数的三角形式

复数的三角形式1、复数的辐角：我们把以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数biaz的辐角；特别规定：复数0的辐角是任意的.2、复数的辐角主值：我们把适合于20的辐角的值叫做辐角的主值，通常记作zarg，即2arg0z。3、复数的三角形式：设是复数的辐角，其模为r，则：cosar，sinbr)sin(cosirz叫复数的三角形式三角形式的具体要求：①r≥0；②前余后正③“+”号连接；④不一定是主值复数的三角形式的乘法运算：定理：设z1=r1(cos+isin)，z2=r2(cos+isin)，r1≥0,r2≥0那么：z1·z2=12cossinrri定理的推广：设zn=rn(cosn+isinn),其中rn≥0于是：z1z2z3…zn=r1r2r3…rn[cos(1+2+3+…+n)+isin(1+2+3+…+n)]复数乘法的几何意义：⑴两个复数z1、z2相乘时，可以先画出分别与z1、z2对应的向量1OZ、2OZ，然后把向量2OZ按逆时针方向旋转1再把模变为原来的r1倍，所得的向量OZ就表示积z1z2.特征：旋转+伸缩变换⑵向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积.复数的除法运算：复数的除法运算的定理：z1=r1(cos+isin),z2=r2(cos+isin)那么21zz=12cossinrir下列复数中那些是三角形式？那些不是？为什么？（1）)4sin4(cos21i；（2）)3sin3(cos21i；（3）)43sin43(cos21i；（4）57sin57cosi；（5）)30sin90(cos200i；（6）)27cos27(sin4i化下列复数为三角形式：①z=3+i②z=1-i③z=-1；④z=3-4i⑤)3sin3(cos21i例1、(1)复数z=1+i，求复数1632zzz的模和辐角主值(2)求复数z1=1+cos+isin(0≤2)的模和辐角主值。例2、（1）|zz1|=21，argzz1=3,求复数z（2）arg(z+1)=6,arg(z-1)=3,求复数z.1、复数)2(1ictg的三角形式是（）(A))]2sin()2[cos(sin1i(B))cos(sinsin1(C))]2sin()2[cos(sin1i(D))]23sin()23[cos(sin1i2、集合M={z|1≤|z|≤2,z∈C},N={z|4argz43,z∈C}，则M∩N所围成的复平面是上的区域的面积是（）(A)4(B)2(C)43(D)3、设a∈(-1,0),复数cos(arcsina)+isin(arcsina)的辐角主值为（）(A)arcsina(B)2+arcsina(C)-arcsina(D)+arcsina4、复数1+cos200º+isin200º的辐角主值为（）(A)200º(B)-100º(C)100º(D)280º例1、计算：①2(cos12+isin12)3(cos6+isin6)②3(cos75º+isin75º)3(cos15º+isin15º)③(cos3A+isin3A)(cos2A-isin2A)④4(cos34+isin34)÷2(cos65+isin65)⑤8(cos65+isin65)÷(21+23i)⑥3(cos47+isin47)÷2(cos32-isin32)例2、(1)如果z=cos52+isin52,求：1+z4+z8+z12+z16之值(2)化复数z=1+(23i)7为三角式例、(1)设复数z满足：|z|=1且z5+z=1,求复数z的值.(2)如果(3+i)m=(1+i)n,m、n∈N，求自然数m、n的最小值5、化复数z1=1+cos+isin,z2=1-cos+isin(＜2)为三角形式，并且求argz1+argz2.6、复数z=a(1+2i)+(1-i),如果|z|2并且2arg23z,求实数a的取值范围