战地黄花——高数部分(完全整理)

考研数学讲座（1）考好数学的基点“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是---”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。阳春三月风光好，抓好基础正当时。考研数学讲座（2）笔下生花花自红在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。”发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。动笔的时间很少。数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）；或“要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。“连续函数与不连续函数的和会怎样？”写成“连续A+不连续B=？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。如果，“连续A+不连续B=连续C”移项，则“连续C－连续A=不连续B”这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导”，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，题面上有已知条件f′(1)＞0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出h趋于0时，lim(f(1+h)－f(1）)/h＞0。然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了。又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式Aα=λα，α≠0，要是移项写成（A－λE）α=0，α≠0，这就表示α是齐次线性方程组（A－λE）X=0的非零解，进而由理论得到算法。数学思维的特点之一是“发散性”。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一步步走。陈景润那篇名扬世界的“1+2”论文中有28个“引理”，那就是他艰难地走向辉煌的28步。对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。《高等数学》感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题，选择一个分块变形就明白了。《概率统计》中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说，二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。多动笔啊，“写”“思”同步步履轻，笔下生花花自红。考研数学讲座（3）极限概念要体验极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。”近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，“割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。”国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。极限概念起自于对“过程”的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。自变量的变化趋势分为两类，一类是x→x。；一类是x→∞“当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a？”如果是，则称数a为函数的极限。“无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；x趋于无穷时，函数1/x的极限是0；回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，x趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。x→0+时，对数函数lnx趋于－∞；x趋于正无穷时，lnx无限增大，没有极限。x→∞时，正弦sinx与余弦cosx都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦y=sinx的图形是典型的波动。我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin（1/x）。当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x=0靠近了一点点，而正弦sinu却完成了140多个周期。函数的图形在+1与－1之间上下波动140多次。在x=0的邻近，函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起，就好象是“电子云”。当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y=sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。x趋于0时（1/x）*sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。）就可能有的函数趋于0时（或无限增大时）“跑得更快”。这就是高阶，低阶概念。考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（即ε–δ语言）。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是“若x趋于∞时，相应函数值f（x）有正的极限，则当∣x∣充分大时，(你不仿设定一点x。，当∣x∣＞x。时，)总有f（x）＞0”*“若x趋于x。时，相应函数值f（x）有正的极限，则在x。的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正”这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。若x趋于无穷时，函数的极限为0，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，)函数的绝对值恒小于1若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，)函数的绝对值全大于1*若x趋于0时，函数的极限为0，则在0点的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1（你不仿设定有充分小的数δ＞0，当0＜∣x∣＜δ时，函数的绝对值全小于1）没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x0，或充分小的数δ＞0，并利用它们。考研数学讲座（4）“存在”与否全面看定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。1．海涅定理观察x趋于x0的过程时，我们并不追溯x从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理：定理（1）极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于x0，相应的函数值总有相同的极限A存在。这个定理条件的“充分性”没有实用价值。事实上我们不可能穷尽x逼近x0的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理：“如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。”唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。2．用左右极限来描述的等价条件用ε–δ语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：定理（2）极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。（3）突出极限值的等价条件考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件：定理（3）函数f（x）在某一过程中有极限A存在的充分必要条件是，f（x）－A为无穷小。从“距离”的角度来理解，在某一过程中函数f（x）与数A无限接近，自然等价于：函数值f（x）与数A的距离∣f（x）－A∣无限接近于0如果记α=f（x）－A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换：f（x）=A+α（无穷小）考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。“存在”与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我用exp（）表示以e为底数的指数函数，（）内填指数。例1x趋于0时，函数exp（1/x）不存在极限。分析在原点x=0的左侧，x恒负，在原点右侧，x恒正。所以x从左侧趋于0时，指数1/x始终是负数，故左极限f（0－0）=0，x从右侧趋于0时，函数趋向+∞，由定理（2），函数不存在极限。也不能说，x趋于0时，exp（1/x）是无穷大。但是，在这种情形下，函数图形