三角形的中位线定理

§6.4三角形中位线三角形中位线1、什么叫三角形的中线？有几条？2、三角形的中线有哪些性质？ABCDEF连结三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线.①三角形的每一条中线把三角形的面积平分.②三角形的中线相交于同一点.……阅读课本第30至31页，回答以下问题：1、什么叫三角形的中位线？2、中位线有什么性质定理？3、如何证明中位线的性质定理？4、如何应用中位线的性质定理？FE连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。思考：1、一个三角形有几条中位线？2、这三条中位线把三角形分成几个三角形？ABCDDE是△ABC的中位线三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？EDCBAFCBA中位线是两个中点的连线，而中线是一个顶点和对边中点的连线。如图在等边△ABC中，AD=BD，AE=EC，BCDEA△ADE是什么三角形？DE与BC有什么样的位置关系和数量关系？等边三角形21∴DEBC一般的三角形的中位线与第三边有什么样的位置关系和数量关系呢？DE是△ABC的什么线？中位线观察猜想在△ABC中，中位线DE和边BC什么关系?DE和边BC关系数量关系：位置关系：DE∥BCABCDE平行DE是BC的一半猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。ABCEDF证明：如图，延长DE至F,使EF=DE，连接CD、AF、CF∵AE=EC∴DE=EF∴四边形ADCF是平行四边形∴ADFC又D为AB中点，∴DBFC∴四边形BCFD是平行四边形∴DE//BC且DE=EF=1/2BC返回三角形的中位线的性质三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半用符号语言表示DABCE∵AE=EBAD=DC∴DE∥BC，DE=BC.21如图1：在△ABC中，DE是中位线（1）若∠ADE=60°，则∠B=度，为什么？（2）若BC=8cm，则DE=cm，为什么？如图2：在△ABC中，D、E、F分别是各边中点AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，则△DEF的周长=cm图1图2ABCDEBACDEF543BDAECF(1)△DEF的周长与△ABC的周长有什么关系?(2)△DEF的面积与△ABC的面积有什么关系?例1：口答（1）三角形的周长为18cm，这个三角形的三条中位线围成三角形的周长是多少？为什么？①已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少？如果三边的长分别为a、b、c，那么顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少？周长是12周长是(a+b+c)12②已知三角形的面积是S,顺次连接各边中点所得的三角形面积是多少？面积是S（2）如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且AD=10cm，那么OE=cm。ABDCEO5（3）如图：如果AE=AB，AD=AC，DE=2cm，那么BC=cm。ABDCE1414HG8（4）在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、BD、AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是。ABDCEFGH11练一练1.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，BC=10cm，则DE=______.AEDCB(1)BDAEC(2)2.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°,∠B=70°,则∠AED=_____.AB问题：A、B两点被池塘隔开,如何测量A、B两点距离呢？为什么?ABC测出MN的长，就可知A、B两点的距离MN在AB外选一点C，使C能直接到达A和B，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N.若MN=36m，则AB=2MN=72m如果，MN两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？例1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．图24.4.3已知：如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证：AE、DF互相平分．证明连结DE、EF．∵AD＝DB，BE＝EC，∴DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．同理EF∥AB．∴四边形ADEF是平行四边形．∴AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．1.已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,AC,BD的中点.求证:四边形EGFH是平行四边形.DCBGAFHE2：如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD．3、如图，已知E为□ABCD中DC延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于点O，连结OF.求证：AB＝2OF.BCDEFOGAGHFOEDCBA例3：已知ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点。求证：∠HEF＝∠FGH。例4：求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、BC、CD、DA的中点。求证：EFGH是平行四边形。HGFEDCBA任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是平行四边形。例5：已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连结OF.求证:AB=2OFADBCEGFO提示:证明△ABF≌△ECF,得BF=CF,再证OF是△ABC的中位线.已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN。D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF。ABCDEFNM求证：DE=EF挑战自我:1.三角形的中位线定义.2.三角形的中位线定理.3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三边的关系，而且给出了他们的数量关系，在三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线.4.线段的倍分要转化为相等问题来解决.5.三角形的中位线定理的发现过程所用到的数学方法（包括画图、实验、猜想、分析、归纳等.)例1求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.ABCDEFGH已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。证明：连结AC∵AE=EB、CF=FB,(三角形中位线定理)21∴EF∥AC，EF=AC∴四边形EFGH是平行四边形同理：HG∥AC，HG=AC21∴EF∥HG，且EF=HG思考：（1）顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是_________？（2）顺次连结矩形各边中点所得的四边形是_______？（3）顺次连结菱形各边中点所得的四边形是________？平行四边形菱形矩形变式练习（4）顺次连结正方形各边中点所得的四边形是___________？（5）顺次连结梯形各边中点所得的四边形是______________？（6）顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是__________？正方形平行四边形菱形（7）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是什么？（9）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？（8）顺次连结对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？菱形总结不相等且不互相垂直的四边形各边中点组成___________对角线平行四边形互相垂直的四边形各边中点组成______矩形相等的四边形各边中点组成_____菱形相等且互相垂直的四边形各边中点组成_______正方形怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?请动手试一试!