高中数学《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》课件2新人教A版必修

2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【课标要求】1．理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．2．会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系．3．增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识．【核心扫描】1．平面向量数量积的坐标表示及运算．(重点)2．用两个向量的坐标判断垂直关系．(难点)自学导引1．平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝03．三个重要公式(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.想一想：你能用向量法推导两点间距离公式|AB→|＝x2－x12＋y2－y12吗？提示AB→＝(x2－x1，y2－y1)，∴AB→·AB→＝AB→2＝|AB→|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，即|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.名师点睛1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)．(2)求两向量的夹角．(3)证明两向量垂直．提醒已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b⇔x1y2＝x2y1；若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2.两个命题不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．2．利用数量积求两向量夹角的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．(2)利用|a|＝x2＋y2计算出这两个向量的模．(3)由公式cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22直接求出cosθ的值．(4)在0≤θ≤π内，由cosθ的值求角θ.题型一向量数量积的坐标表示及运算【例1】已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.[思路探索]可根据a与b共线设出a的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得a的坐标，进而求(a·c)·b.解(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ0)．又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)·b＝0·b＝0.规律方法(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．【变式1】已知a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，求向量b的坐标．解设b＝(x，y)，则x2＋y2＝1，4x－3y＝5，解得x＝45，y＝－35，∴b＝45，－35.题型二两向量的夹角【例2】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．[思路探索]运用cosθ＝a·b|a||b|进行求解．解设a与b的夹角为θ，|a|＝12＋22＝5，|b|＝1＋λ2，a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cosθ＜0且cosθ≠－1，即a·b＜0且a与b不反向．由a·b＜0得1＋2λ＜0，故λ－12，由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．所以λ的取值范围为（－∞，－12）.(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cosθ＞0，且cosθ≠1，即a·b＞0且a，b不同向．由a·b＞0，得λ＞－12，由a与b同向得λ＝2.所以λ的取值范围为（－12，2）∪(2，＋∞)．规律方法1.已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、两向量的长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．2．由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝a·b|a||b|来判断，可将θ分五种情况：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ0且cosθ≠－1，θ为钝角；cosθ0且cosθ≠1，θ为锐角．【变式2】已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围.解由题意cosα＝a·b|a||b|＝－2λ－15·λ2＋1，∵90°＜α＜180°，∴－1＜cosα＜0，∴－1＜－2λ－15·λ2＋1＜0，∴－2λ－1＜0，－2λ－1＞－5λ2＋5，即λ＞－12，2λ＋12＜5λ2＋5，即λ＞－12，λ≠2，∴λ的取值范围是（－12，2）∪(2，＋∞)．题型三向量垂直的坐标运算【例3】已知a＝－12，32，OA→＝a－b，OB→＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.审题指导设出b＝x，y→OA→⊥OB→→列出方程组→求出b[规范解答]法一设向量b＝(x，y)，则OA→＝a－b＝－12－x，32－y，OB→＝a＋b＝－12＋x，32＋y，由题意可知，OA→·OB→＝0，|OA→|＝|OB→|，(4分)从而有：－12－x－12＋x＋32－y32＋y＝0－12－x2＋32－y2＝－12＋x2＋32＋y2(8分)解得x＝32，y＝12或x＝－32，y＝－12.所以b＝32，12或b＝－32，－12.(12分)法二设向量b＝(x，y)，依题意，OA→·OB→＝0，|OA→|＝|OB→|，则(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.(6分)所以向量b是与向量a相互垂直的单位向量，即有－12x＋32y＝0，x2＋y2＝1，解得b＝32，12或b＝－32，－12.(12分)【题后反思】对于判断三角形形状的问题，若已知三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则：(1)AB→·AC→0，即(x2－x1)(x3－x1)＋(y2－y1)(y3－y1)0时，∠A为锐角．(2)AB→·AC→＝0，即(x2－x1)(x3－x1)＋(y2－y1)(y3－y1)＝0时，∠A为直角．(3)AB→·AC→0，即(x2－x1)(x3－x1)＋(y2－y1)(y3－y1)0时，∠A为钝角．三角形三内角均满足(1)时，三角形为锐角三角形；三内角有且只有一个满足(2)时，三角形为直角三角形；三内角有且只有一个满足(3)时，三角形为钝角三角形．此外，对比两种方法，我们看到，采用先几何运算后坐标运算会大大减少运算量．【变式3】已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，求m的值．解∵a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)，又(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0.∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，∴m＝－2.误区警示运算出错【示例】已知a＝(3，－4)，b是与a共线的单位向量，求b的坐标．[错解]因为b与a共线，所以可设b＝λa，因为b是单位向量，所以|b|＝1，即|λa|＝1，|(3λ，－4λ)|＝1，就是9λ2＋16λ2＝1，解得λ＝15.故b的坐标为15(3，－4)，即35，－45.由9λ2＋16λ2＝1，应解得|λ|＝15，λ＝±15.[正解]因为b与a共线，所以可设b＝λa，因为b是单位向量，所以|b|＝1，即|λa|＝1，|(3λ－4λ)|＝1，就是9λ2＋16λ2＝1，得到|λ|＝15，λ＝±15，故b的坐标为15(3，－4)或－15(3，－4)，即b的坐标为35，－45或－35，45.为了避免运算上的错误，请同学们解题时，务必细心．