线段的垂直平分线和角平分线的复习(适合各种版本)

线段垂直平分线与角平分线复习ACB如图,在一个三角形的小岛上，小动物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边的路线，分别跑到小岛三边.为公平起见，要求起点到小岛三边的距离相等，你能帮它们确定起点吗？如果到三个顶点的距离相等呢？线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线角平分线判定尺规作图定义性质三角形三边垂直平分线和角平分线的性质线段垂直平分线与角平分线复习逆定理性质定理文字语言：文字语言：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.ACBPMN符号语言：符号语言：∵MN⊥AB,AC=BC,P是MN上任意一点∴PA=PB∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上证明两条线段相等的根据之一.温馨提示:证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.线段垂直平分线与角平分线复习线段的垂直平分线ABCPabc三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。如图,在△ABC中,∵直线c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线∴直线c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC三条边的垂直平分线的性质定理文字语言：符号语言：线段的垂直平分线三角形性质定理逆定理证明线段相等线段垂直平分线与角平分线复习逆定理性质定理文字语言：文字语言：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.符号语言：符号语言：证明两条线段相等的根据之一.证明一个点是否在角平分线上，从而推出两个角相等.线段垂直平分线与角平分线复习BADOPE在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.∵PD=PEPD⊥OA,PE⊥OB∴点P在∠AOB的平分线上角平分线温馨提示:∵OP是∠AOB的平分线PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.三个内角平分线的性质定理文字语言：符号语言：角平分线三角形性质定理逆定理证明线段相等ABCBNDFMEP线段垂直平分线与角平分线复习∵△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC，垂足分别是E、D、F.∴PD=PE=PF【例1】：如图，在△ABC中，BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点F,AC的垂直平分线交BC边于点H.求△AFH的周长。在△ABC中，△AFH的周长为12,AB的垂直平分线交BC边于点F,AC的垂直平分线交BC边于点H.求BC长为_______。在△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点F,AC的垂直平分线交BC边于点H.若∠B=35°，∠C=25°,则∠FAH=___________.线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC边于点F.求证：CF=2BF线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析【例2】已知:如图,点P是∠AOB内部的一点,（2）你能添加一个条件，使点P在∠AOB的平分线上吗？（1）若OP平分∠AOB，你能得出什么结论？BACOPD1CD若PC=PD，∠1+∠2=1800.那么点P在∠AOB的平分线上吗？MNPC⊥OA,PD⊥OB，垂足分别为点C和点D.答：点P在∠AOB的平分线上.理由：过点P作PM⊥OA,PN⊥OB.垂足分别为点M和点N.∵∠1+∠2=180°，∠3+∠2=180°∴∠1=∠3又∵∠PMC=∠PND=90°，PC=PD∴△PMC≌△PND（AAS）∴PM=PN又∵PM⊥OA,PN⊥OB∴点P在∠AOB的平分线上.线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析【例3】已知：如图，AP、BP分别平分∠DAB和∠CBA，PE、PF分别垂直于AD、BC，垂足为E、F.求证：点P在EF的垂直平分线上.分析：（1）从已知条件你能想到什么定理？（3）能得到什么结论?（4）用什么定理来证明结论?（2）缺少了什么?怎么办？AEDPCFBG角平分线上的点到另一边的垂线段.添加辅助线.添辅助线的目的是什么？构造角平分线的基本图形.线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析【例3】已知：如图，AP、BP分别平分∠DAB和∠CBA，PE、PF分别垂直于AD、BC，垂足为E、F.求证：点P在EF的垂直平分线上.证明：过点P作PG⊥AB，垂足为点G.AEDPCFBG∵AP平分∠BAD,PE⊥AD(已知)，PG⊥AB(已作)，∴PE＝PG（角平分线上的点到角两边的距离相等）同理：PG＝PF.∴PE＝PF(等量代换).∴点P在EF的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析【例3】已知：如图，AP、BP分别平分∠DAB和∠CBA，PE、PF分别垂直于AD、BC，垂足为E、F.求证：点P在EF的垂直平分线上.（1）若把上图中的DA、CB延长相交于点O，点P还落在什么特殊的位置上？为什么？AEDPCFBGOAEDPCFBG由角平分线的逆定理可得点P在∠BOA的角平分线上.（2）OE＝OF吗？为什么？全等三角形的对应边相等.线段垂直平分线与角平分线复习垂直平分线----点向两端连线段当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的基本图形时，要添置辅助线构造运用它们的基本图形.线段垂直平分线与角平分线复习规律总结角平分线----点向两边作垂线段1.下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两个端点的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P的直线MN是线段AB的中垂线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个A线段垂直平分线与角平分线复习达标测试2.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，∠1＝∠2，下列结论不正确的是（）A.PC=PDB.OC=ODC.∠DPO=∠CPOD.OD＝OPDBACOPD1初级目标3.如图所示，点P是∠CAB的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝5cm，则点P到AB的距离是_______.5cmACEPDBF4．已知：如图，∠AOP=∠BOP=150，PC//OA，PD⊥OA于点D，如果PC=4，则PD=_______.ADOCPB2E线段垂直平分线与角平分线复习中级目标5.已知：如图，在等边△ABC中，∠C、∠B的平分线交于点I，BI、CI的垂直平分线与BC相交于E、F点.求证：BE＝EF＝FCABCIEF线段垂直平分线与角平分线复习高级目标已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G.求证：BF=CG.AGEBFCD请同学们谈谈自己的收获吧！线段垂直平分线与角平分线复习