您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 商业计划书 > 二维形式的柯西不等式
2.1二维形式的柯西不等式有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值,人们称它们为经典不等式.如均值不等式:1212(,1,2,,)nnniaaaaaaaRinn≥.本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式:柯西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用,感受数学的美妙,提高数学素养.发现定理:定理1(二维形式的柯西不等式)若,,,abcd都是实数,则22222()()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.思考解答变形你能简明地写出这个定理的证明吗?二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式定理:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc时,等号成立.仔细观察上述定理,概括它的特点平方的和的乘积不小于乘积的和的平方例1:已知a,b为实数,求证2332244)())((bababa分清(找准)a,b,c,d练习1:设,,1,abRab求证:114ab≥.证明:由于,abR,根据柯西不等式,得21111()()()4abababab≥又1ab,∴114ab≥补全a,b,c,d22231,49.xyxy变式1:若求的最小值222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.1234123161492xyxyxyxyxyxxyxyyxy解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为例2.求函数的最大值xxy21015变形,使之出现常数2222()acbdabcd1220,0,1,2132ababab设且求证:变形,使之出现条件中的表达式或表达式的倍数练习2220,0,2,22xyxyxyxy例3.设且的最小值。运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.思考1:设,,1,abRab求证:114ab≥.证明:由于,abR,根据柯西不等式,得21111()()()4abababab≥又1ab,∴114ab≥可以体会到,运用柯西不等式,思路一步到位,简洁明了!解答漂亮!定理1(二维形式的柯西不等式)若,,,abcd都是实数,则22222()()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.变变形……,可得下面两个不等式:⑴若,,,abcd都是实数,则2222()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.⑵若,,,abcd都是实数,则2222()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.这两个结论也是非常有用的.柯西不等式的应用举例:思考2.已知224936xy,求2xy的最大值.变式1.已知224936xy,求2xy的最大值.变式2.已知326xy,求22xy的最小值.变式3.已知326xy,求222xy的最小值.思考3.求函数51102yxx的最大值.525221136课堂练习:P36第1,3,4课外思考:已知22111,abba求证:221ab.证明:由柯西不等式,得22222211111abbaaabb≤当且仅当2211bbaa时,上式取等号,2211,abab222211,abab于是221ab。注:这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的4.一般形式的柯西不等式定理设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是实数,则_________________________________________________,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2
本文标题:二维形式的柯西不等式
链接地址:https://www.777doc.com/doc-4645799 .html