高等代数第三版-(王萼芳-石生明-著)-课后答案-高等教育出版社

高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳石生明）石生明）石生明）石生明）习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070第1页共26页1高等代数习题答案（一至四章）高等代数习题答案（一至四章）高等代数习题答案（一至四章）高等代数习题答案（一至四章）第一章多项式习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39qxx=−262()99rx=−−（2），2()1qxxx=+−()57rxx=−+2、（1），（2）由得或。2100pmqm⎧++=⎨−=⎩22(2)010mpmqpm⎧−−=⎪⎨+−−=⎪⎩01mpq=⎧⎨=+⎩212qpm=⎧⎨+=⎩3、（1）432()261339109,qxxxxx=−+−+()327rx=−（2）q（x）=，22(52)xixi−−+()98rxi=−−4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)fxxxxxx=+−+−+−+−+−（2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)fxxxxx=−+++−+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()fxixiixiixixi=+−++−−+−+++5、（1）x+1（2）1（3）2221xx−−6、（1）u（x）=-x-1，v（x）=x+2（2），11()33uxx=−+222()133vxxx=−−（3）u（x）=-x-1,32()32vxxxx=+−−7、或02ut=⎧⎨=⎩23ut=−⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d（x）是f（x）与g（x）的公因式。另设是f（x）与g（x）的任意公因式，下证()xϕ。()()xdxϕ由于d（x）是f（x）与g（x）的一个组合，这就是说存在多项式s（x）与t（x），使d（x）=s（x）f（x）+t（x）g（x）。从而，，可得。即证。()()xfxϕ()()xgxϕ()()xdxϕ9、证：因为存在多项式u（x），v（x）使（f（x），g（x））=u（x）f（x）+v（x）g（x），所以（f（x），g（x））h（x）=u（x）f（x）h（x）+v（x）g（x）h（x），上式说明（f（x），g（x））h（x）是f（x）h（x）与g（x）h（x）的一个组合。另一方面，由知。同理可得((),())()fxgxfx((),())()()()fxgxhxfxhx从而是与的一个最大公因式，又((),())()()()fxgxhxgxhx((),())()fxgxhx()()fxhx()()gxhx高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳石生明）石生明）石生明）石生明）习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070第2页共26页2因为的首相系数为1，所以。((),())()fxgxhx(()(),())()((),())()fxhxgxhxfxgxhx=10.证存在u（x），v（x）使有因为f（x），g（x）不全为0，所以，由消去律可得(()())0fxgx≠所以。11.由上题结论类似可得。12.证由假设，存在使（1）（2），将（1）（2）两式相乘得所以((),())()1fxgxhx=13.证由于反复应用第12题结论，可得同理可证从而可得14.证有题设知，所以存在v（x），v（x）使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1从而(),()1fxgx=u(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=1即[u(x)-v(x)]f(x)+v(x)[f(x)+g(x)]=1所以同理再有12题结论，即证((),()())1fxfxgx+=((),()())1gxfxgx+=(()(),()())1fxgxfxgx+=15、。132i−±16、（1）由x-2得三重因式（2）无重因式。高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳石生明）石生明）石生明）石生明）习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070第3页共26页317、当t=3时有三重根x=1,；当t=由二重根。154−12x=18、324270pq+=19、a=1，b=-2。20、证因为f（x）的导函数所以于是从而f（x）无重根。21、证因为，，由于a是的k重根，故a是的k+1重根。代入验算知a是g（x）的根。所以s-2=k+1s=k+3，即证。⇒22、证必要性：设是f（x）的k重根，从而是的k-1重根，是的k-2重根。。。。。，是0x的一重根，并且不是的根。于是，而0x。充分性由而，知是的一重根。又由于，知0x0x是的二重根，以此类推，可知是f（x）的k重根。0x23、解：例如：设，那么以0为m重根。11()11mfxxm+=−+'()mfxx=24、证要证明，就是要证明f（1）=0（这是因为我们可以把看做为一个变量。nx有题设由，所以也就是f（1）=0，即证。25、当n为奇数时，11212222221(1)[()1][()1].....[()1]nnnnnxxxxxxxxεεεεεε−+−−−=−−++−−+−++当n为偶数时27、（1）利用11212222221(1)(1)[()1][()1].....[()1]nnnnnxxxxxxxxxεεεεεε−+−−−=+−−++−−+−++剩余除法试根：有一有理根：2（2）有两个有理根：，12−12−（3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳石生明）石生明）石生明）石生明）习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070第4页共26页428、（1）因为1都不是它的根，所以在有理数域里不可约±21x+（2）利用爱森斯坦判别法，取p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。（3）不可约（4）不可约（5）不可约第二章第二章第二章第二章行列式行列式行列式行列式习题解答习题解答习题解答习题解答1、均为偶排列2、（1）i=8，k=3（2）i=3k=63、4、当n=4k，4k+1时为偶排列当n=4k+2,4k+3时为奇排列5、(1)2nnk−−6、正号7、，，11233244aaaa−12233441aaaa−14233142aaaa−8、（1）原式=，（2）（3）(1)2(1)!nnn−=−1(1)!nn−=−(1)(2)2(1)!nnn−−=−9、解：行列式展开得一般项可表示为，列标只可以在1,2,3,4,5中取不同值，故三1234512345jjjjjaaaaa345jjj个下标中至少有一个要取3,4,5列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式中每一项的乘积必为0，因此行列式只为零。10、解：含有的展开项中只能是，所以的系数为2；同理，含有的张开项中只能是4x11223344aaaa4x3x，所以的系数为-1。12213344aaaa3x11、证：有题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值为1。而行列式的值为0，这说明带正号与带负号的项数相同。根据行列式定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下表排列的逆序数所决定的，即当该乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第二下标所成排列为偶排列时，该项前面所带符号为正，否则为负号。所以，由带正号的项与带符号的项数相等即说明奇偶排列各半。12、解（1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x，所以若该行列式的第一行展开时含有的对1nx−应项系数恰为乘一个范得蒙行列式于是，由为互不相同1(1)n−−2211122222221111....1..........................1....nnnnnnaaaaaaaaa−−−−−−1231,,....naaaa−的数即知含有的对应项的系数不为零，因而p（x）为一个n-1次的多项式。1nx−高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳石生明）石生明）石生明）石生明）习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070第5页共26页513、（1）（2）（3）48（4）160（5）（6）0529410−×332()xy−+22xy14、提示：将第二列，第三列的同时加到第一列。15、（1）=-6，=0，=0，=0，=12，6，=0，=0，=15，=-6，11A12A13A14A21A22A=23A24A31A32A=-3，=0，=7，=0，=1，=-233A34A41A42A43A44A（2）=7，=-12，=3，=6，4，=-1，=-5，=5，=5，=0。11A12A13A21A22A=23A31A32A33A34A16、（1）1（2）（3）-483（4）1312−3817、（1）按第一行展开，原式=。1(1)nnnxy++−（2）从第二列起个人列减去第一列：当n3时，原式=0，当n=2时，原式=，当n=1时，原式=≥2121()()aabb−−11ab−（3）11()()nniixmm−=−−∑（4）（-2）（n-2）！（5）各列加到第一列得：11(1)(1)(1)!2nnn−−+−18、提示：（1）分别将第i（i=2,3…..n+1）行乘以加到第一行11ia−−（2）从最后一行起，分别将每一行乘以x后加到起前一行。（3）导出递推关系式（4）同（3）（5）解：高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳高等代数第三版（王萼芳石生明）石生明）石生明）石生明）习题解答习题解答习题解答习题解答首都师范大学首都师范大学首都师范大学首都师范大学数学科学学院数学科学学院数学科学学院数学科学学院1100500070110050007011005000701100500070第6页共26页619、（1）=-70，=-70，=-70，=-70，=-70d1d2d3d4d=1=1=1=111dxd=22dxd=33dxd=44dxd=（2）=324，=324，=648，=-324，=-648d1d2d3d4d=1=2=1=-211dxd=22dxd=33dxd=44dxd=（3）=24，=96，=-336，=-96，=-168，=312d1d2d3d4d5d=4=-14=-4=-7=1311dxd=22dxd=33dxd=44dxd=55dxd=（4）=665，=1507，=-1145，=703，=-395，=212d1d2d3d4d5d===-==11dxd=105766522dxd=229133−33dxd=373544dxd=79133−55dxd=21266520、证明：由得这是一个关于的线性方程组，且他的系数行列式为一个范得蒙行列式。由已知该行列式不为零，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式时唯一的。21、13.5613.48第三章第三章第三章第三章线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组习题解答习题解答习题解答习题解答1、（1）无穷多解（2）无解（3）（-8,3,6,0）（4）无穷多解（5）无解（6）无穷多解2、（1）（2）12345111444