高中数学必修4(必修四)课件第二章：平面向量

第二章平面向量§2.1平面向量的实际背景及基本概念明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.明目标、知重点1.向量既有，又有的量叫做向量.2.向量的几何表示以A为起点、B为终点的有向线段记作.3.向量的有关概念(1)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作.(2)单位向量：长度等于个单位的向量，叫做单位向量.大小填要点·记疑点方向AB→001(3)相等向量：的向量叫做相等向量.(4)平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量.①记法：向量a平行于向量b，记作.②规定：零向量与平行.长度相等且方向相同相同或相反非零a∥b任一向量探要点·究所然情境导学回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小，又有方向的量进行抽象，形成一种新的量，即向量.探究点一向量的概念和几何表示我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量.数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量.而把那些只有大小，没有方向的量称为数量.例如，已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度.其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧.思考1向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？答联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.用表示向量的有向线段的长度表示向量的大小，也就是向量的长度(或称模).记作||有向线段箭头表示向量的方向.AB→AB→AB→AB→思考2向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？答向量的模可以为0，也可以为1，不可以为负数.思考3向量与有向线段有什么区别？答向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.探究点二几个向量概念的理解思考1长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？答长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的.长度(或模)为1的向量叫做单位向量.思考2满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？答长度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与b相等，记作a＝b.单位向量不一定是相等向量.小结研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素.对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错.思考3在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？答单位圆.探究点三平行向量与共线向量思考1如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？答方向相同或相反.小结方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b平行，通常记作a∥b.规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.a、b、c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.思考2如果非零向量是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？答点A、B、C、D不一定共线.AB→与CD→思考3若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递性吗？答向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线).向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c⇒a∥c.小结在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”.例1判断下列命题是否正确，并说明理由.①若a≠b，则a一定不与b共线；②若则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.AB→＝DC→，AB→＝DC→；解两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确.②A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确.③在平行四边形ABCD中，与平行且方向相同，故③正确.AB→＝DC→，|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→AB→＝DC→，④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确.⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确.若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确.反思与感悟对于命题的判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可.跟踪训练1判断下列命题是否正确，并说明理由.①若向量a与b同向，且|a||b|，则ab；解不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确.②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；解不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向.③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；解正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向.由两向量相等的条件可得a＝b.④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.解不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定.例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点.(1)作出向量AB→、BC→、CD→；解(1)向量如图所示.AB→、BC→、CD→(2)求|AD→|.解由题意，易知AB→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线，∴在四边形ABCD中，AB綊CD.又|AB→|＝|CD→|，∴四边形ABCD为平行四边形.∴AD→＝BC→，∴|AD→|＝|BC→|＝200km.反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练2在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？解根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).解由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(作图略).例3如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.(1)写出与共线的向量；EF→解因为E、F分别是AC、AB的中点，所以EF綊12BC.又因为D是BC的中点，所以与EF→共线的向量有：FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→.(2)写出与EF→的模大小相等的向量；解与EF→模相等的向量有：FE→，BD→，DB→，DC→，CD→.(3)写出与EF→相等的向量.解与EF→相等的向量有：DB→与CD→.反思与感悟(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练3如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与相等的向量.OA→、OB→、OC→解OA→＝CB→＝DO→；OB→＝DC→＝EO→；OC→＝AB→＝ED→＝FO→当堂测·查疑缺12341.下列说法正确的是()A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小1234解析A中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A不正确；由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B不正确；C中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C不正确；D中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D正确.答案DA.AD→与CB→B.OB→与OD→C.AC→与BD→D.AO→与OC→12342.如图，在四边形ABCD中，若则图中相等的向量是()DAB→＝DC→，解析∵AB→＝DC→，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴AO→＝OC→.12343.如图，在△ABC中，若DE∥BC，则图中所示向量中是共线向量的有________________________.解析观察图形，并结合共线向量的定义可得解.ED→与CB→，AD→与BD→，AE→与CE→12344.在四边形ABCD中，AB→∥CD→且|AB→|≠|CD→|，则四边形ABCD的形状是________.解析∵AB→∥CD→且|AB→|≠|CD→|，∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形.梯形呈重点、现规律1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广意平行.3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.第二章平面向量§2.2平面向量的线性运算明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.明目标、知重点如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作，即a＋b＝＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝＋＝.1.向量的加法法则(1)三角形法则a＋b填要点·记疑点AB→＝a，BC→＝b，AC→AB→＋BC→AC→0aa(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作则O、A、B三点不共线，以，为邻边作，则以O为起点的对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则.2.向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.OAOA→＝a，OB→＝b，OC→OB平行四边形b＋aa＋(b＋c)探要点·究所然情境导学两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.探究点一向量加法的三角形法则导引两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北.通过上面地图中客机的位移，我们得到向量加法的三角形法则：OA→＋AB→＝OB→.思考1使用向量加法的三角形法则具体做法是什么？答先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后