两角和与差正切函数

第三章三角恒等变形§2两角和与差的三角函数2.3两角和与差的正切函数课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页学习目标：1.能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点)2.掌握公式Tα±β及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[自主预习·探新知]两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝__________α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝____________α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(1)变形公式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β.(2)公式的特例tanπ4＋α＝1＋tanα1－tanα；tanπ4－α＝1－tanα1＋tanα.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页思考：怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？提示：tan(α＋β)＝sinα＋βcosα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ，分子分母同除以cosαcosβ，便可得到．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tanαtanβ，tan(α＋β)，tanα＋tanβ三者知二，可表示或求出第三个．()(2)tanπ2＋π3能用公式tan(α＋β)展开．()(3)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()(4)公式T(α±β)，对任意α，β都成立．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2．1＋tan15°1－tan15°的值为()A．2B．－2C．3D．－3C[原式＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝3.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页3．设α，β∈0，π2，且tanα＝17，tanβ＝43，则α－β等于()A．π3B．π4C．3π4D．－π4D[tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝17－431＋17×43＝－1.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页4．tan49°＋tan11°1－tan49°tan11°＝________.[答案]3课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[合作探究·攻重难]化简求值求下列各式的值：(1)3＋tan15°1－3tan15°；(2)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°.【导学号：64012168】课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解](1)原式＝tan60°＋tan15°1－tan60°tan15°＝tan(60°＋15°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝tan30°＋tan45°1－tan30°tan45°＝33＋11－33＝2＋3；(2)∵tan45°＝tan15°＋tan30°1－tan15°tan30°＝1，∴tan15°＋tan30°＝1－tan15°tan30°∴原式＝(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用.当式子中出现12，1，32，3这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]1．(1)sin15°－cos15°sin15°＋cos15°；(2)tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解](1)∵tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝2－3.∴sin15°－cos15°sin15°＋cos15°＝tan15°－1tan15°＋1＝2－3－12－3＋1＝1－333－1＝－33.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(2)tan10°＋tan50°＋3tan10°·tan50°＝tan(10°＋50°)(1－tan10°·tan50°)＋3tan10°tan50°＝tan60°－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝tan60°＝3.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页给值求值(或求角)已知α∈0，π4，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17.求(2α－β)的值．[思路探究]先由α＝(α－β)＋β，求出tanα，再由2α－β＝(α－β)＋α求出tan(2α－β)，然后根据α，β的范围，求出2α－β的值．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解]∵tan(α－β)＝12，tanβ＝－17.∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋17×12＝13.∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝tanα－β＋tanα1－tanα－βtanα＝12＋131－12×13＝1.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页∵0απ4，又0βπ，tanβ＝－17－1.∴3π4βπ，∴－π－β－3π4，∴－πα－β－π2，∴－π2α－β－π4，∴2α－β＝－3π4.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]1.“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化.解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角.2.已知某三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；(2)根据角的范围确定角，必要时可利用值缩小角的范围.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]2．已知tanπ12＋α＝2，tanβ－π3＝22，求：(1)tanα＋β－π4；(2)tan(α＋β).【导学号：64012169】课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解](1)tanα＋β－π4＝tanα＋π12＋β－π3＝tanα＋π12＋tanβ－π31－tanα＋π12·tanβ－π3＝2＋221－2·22＝－2.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(2)tan(α＋β)＝tanα＋β－π4＋π4＝tanα＋β－π4＋tanπ41－tanα＋β－π4·tanπ4＝－2＋11－－2×1＝22－3.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页正切公式的综合应用[探究问题]1．若α＋β＝π，则tanα与tanβ存在怎样关系？提示：tanα＝tan(π－β)＝－tanβ.2．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC与tanAtanBtanC有何关系．提示：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝－tanC，∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－tanC，∴tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页3．在△ABC中，A，B，C三个角有什么关系？提示：A＋B＋C＝π或A2＋B2＝π2－C2.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页在△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．[思路探究]可先求出tan(B＋C)和tan(A＋B)的值．再由诱导公式分别求tanA和tanC的值，从而可得A，B，C，即可判断三角形形状．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解]tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tanB＋tanCtanBtanC－1＝3－3tanBtanCtanBtanC－1＝－3，又0°A180°，∴A＝120°，而tanC＝tan[π－(A＋B)]＝tanA＋tanBtanAtanB－1＝tanA＋tanB3tanA＋3tanB＝33.又0°C180°，∴C＝30°，∴B＝30°.∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页母题探究将例3中的条件变为“△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝233”，试求tanA·tanB的值．[解]因为A＋B＋C＝180°，∠C＝120°，所以tan(A＋B)＝tan60°＝3.又tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanA·tanB，所以2331－tanA·tanB＝3，解得tanA·tanB＝13.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]1．等式中同时出现tanA±tanB与tanA·tanB时，一般是构造tan(A±B)，利用两角和与差的正切公式求解．2．在三角形中要注意应用A＋B＋C＝π这一隐含条件．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[当堂达标·固双基]1．与1－tan21°1＋tan21°相等的是()A．tan66°B．tan24°C．tan42°D．tan21°B[原式＝tan45°－tan21°1＋tan45°tan21°＝tan(45°－21°)＝tan24°.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2．已知A＋B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB)的值为()A．1B．2C．－2D．不确定B[(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋(tanA＋tanB)＋tanAtanB＝1＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝1＋1－tanAtanB＋tanAtanB＝2.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页3．已知tanα－β2＝12，tanβ－α2＝－13，则tanα＋β2＝________.[解析]tanα＋β2＝tanα－β2＋β－α2＝12－131－12×－13＝17.[答案]17课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页4．已知A，B都是锐角，且tanA＝13，sinB＝55，则A＋B＝________.【导学号：64012170】[解析]∵B为锐角，sinB＝55，∴cosB＝255，∴t