第5节-微分的概念及其应用

二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用第五节一、微分的概念微分的概念及其应用20xA0x0x,00xxx变到设边长由,20xA正方形面积2020)(xxxA.)(220xxx)1()2(;,的主要部分且为的线性函数Ax.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx:)1(:)2(xx2)(xxx0xx0一、微分的定义引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?0x变到,0xx边长由其再如,.,03yxxxy求函数的改变量时为处的改变量在点设函数3030)(xxxy.)()(3332020xxxxx)1()2(,很小时当x.320xxy),()2(xox的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?定义如果在这区间内及在某区间内有定义设函数,,)(00xxxxfy,)()()(00xoxAxfxxfy.d),(dd,)(,)(),(00000xAyxfyxxxfyxAxxfyxAxxxx即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立由定义知:;d)1(的线性函数是自变量的改变量xy;)(d)2(高阶无穷小是比xxoyy;d,0)3(是等价无穷小与时当yyAyydxAxo)(1).0(1x;)(,)4(0有关和但与无关的常数是与xxfxA).(d,)5(线性主部很小时当yyx)()()(00xoxAxfxxfy).(,)()(000xfAxxfxxf且处可导在点数函可微的充分必要条件是在点函数定理证(1)必要性,)(0可微在点设xxf),(xoxAy即,)(xxoAxyxxoAxyxx)(limlim00则.A).(,)(00xfAxxf且可导在点即函数0)(lim0xxxfyx.于是)()(xoxxfy,即)(xoxAy,(2)充分性,)(0可导在点函数设xxf)(lim00xfxyx.)(0可微在点函数xxf可微可导.)(d)(xxfyxfy的微分为函数)(0xfA.d)(dxxfy例1解.02.0,23时的微分当求函数xxxyxxy)(d3.32xx02.02202.023dxxxxxxy.24.0.d,d,xxxxx即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量).(ddxfxy导数也称为“微商”.二、微分的几何意义)(xfy0xMNTydy)(xo）yxox几何意义:(如图).d,对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当yyxx0P.,,MNMPMx可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当以直代曲三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则xxfyd)(d求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式xxxxxxxxxxCdtansec)(secddsec)(tanddcos)(sind0)(d2xxxxxxxxxxxxxdcotcsc)(cscddcsc)(cotddsin)(cosdd)(d21xxxxxxxaxxxaaaaxxd11)(arctandd11)(arcsinddln1)(logddln)(d222.函数和、差、积、商的微分法则2dd)(ddd)(dd)(ddd)(dvvuuvvuvuuvuvuCCuvuvuxxxxxxxxxxxxd11)cotarc(dd11)(arccosdd1)(lndde)e(d22结论：的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyxxxfyd)(d3.复合函数的微分法则设)(xfy可导，则xxfyd)(d而ttgxd)(d,因此又有xxfyd)(d,ttgxfyd)()(d此性质称为一阶微分的形式不变性.若又有)(tgx,g可导，则复合函数)]([tgfy的微分为例2解法1.d,)eln(2yxyx求设,ee2122xxxxy.dee21d22xxxyxx解法2)e(de1d22xxxxy.dee2122xxxxx分析xxfyd)(d微分的计算:计算函数的导数,乘以自变量的微分.也可利用复合函数的微分法则.例3解.d,cose31yxyx求设)(cosde)e(dcosd3131xxyxxxxxxxxd)sin(ed)e3(cos3131.d)sincos3(e31xxxx解例4.darctanyyxy求，设两边微分，，21dddyyyxxy.d)1(1)1(d22xyxyyy?,05.0,10问面积增大了多少厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径四、微分在近似计算中的应用1.函数的近似计算有很小时且处的导数在点若,||,0)()(00xxfxxfy例5解,2rA设.05.0,10厘米厘米rrrrdAA205.0102).(2厘米.)(0xxf00dxxxxyy)()()()(000xxxfxfxf)(0xx例6.0360coso的近似值计算解,cos)(xxf设)(,sin)(为弧度xxxf,360x，23)3(,21)3(ff)3603cos(0360coso3603sin3cos3602321.4924.049242356.0精确值常用近似公式)||(很小时x;)(sin)4(为弧度xxx(1)证,e)(xxf设,e)(xxf.1)0(,1)0(ff.)(tan)5(为弧度xxx；xx)1ln()3(;1)1()2(xx;1e)1(xx.1exx)||()0()0()(很小时特别地，xxffxf.)(211cos)6(2为弧度xxx例7:计算下列各数的近似值解.e)2(;5.998)1(03.03335.110005.998)1(3)10005.11(100030015.0110)0015.0311(10.995.903.01e)2(03.0.97.0994997.9精确值97044.0精确值