高考数学一轮复习-第三章-三角函数、解三角形-.-简单的三角恒等变换练习-理-课件

1第三章三角函数、解三角形3.6简单的三角恒等变换练习理[A组·基础达标练]1．[2015·许昌一模]已知sin2α＝13，则cos2α－π4等于()A.13B．－13C.23D．－23答案C解析cos2α－π4＝1＋cos2α－π22＝1＋sin2α2＝23.2．[2015·阜阳期末]化简cos40°cos25°1－sin40°＝()A．1B.3C.2D．2答案C解析原式＝cos220°－sin220°cos25°sin220°－2sin20°cos20°＋cos220°＝cos220°－sin220°－＝2sin65°cos25°＝2cos25°cos25°＝2.3．已知函数f(x)＝sinx＋cosx且3f′(x)＝f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则1＋cos2xsin2x－cos2x＝()A．－3B．3C.92D．－92答案D解析依题意得3(cosx－sinx)＝sinx＋cosx，即2sinx＝cosx，从而tanx＝12.sin2x＋2cos2x2sin2x－cos2x＝tan2x＋22tan2x－1＝－92.4．函数f(x)＝4cos2xsin2x＋32的最大值是()A．2B．3C.112D.72答案A2解析解法一：f(x)＝2(2cos2x－1)·2sin2x＋32≤22cos2x－1＋2sin2x22＋32＝2，当且仅当2cos2x－1＝2sin2x即cos2x＝12时取等号．解法二：f(x)＝4cos2x1－cos2x2＋32＝－2cos22x＋2cos2x＋32＝－2cos2x－122＋2，当cos2x＝12时，f(x)max＝2，故选A.5．[2015·邯郸一模]已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cosθ2的值为()A.35B.45C．±35D．±45答案C解析∵θ为第二象限角，∴2kπ＋π2θ2kπ＋π，k∈Z，即kπ＋π4θ2kπ＋π2，k∈Z，又sin(π－θ)＝2425，∴sinθ＝2425，cosθ＝－725，∴cosθ2＝±1＋cosθ2＝±35.故选C.6．[2015·新余三模]若α∈π4，π，且3cos2α＝4sinπ4－α，则sin2α的值为()A.79B．－19C．－79D.19答案B解析由已知得3(cos2α－sin2α)＝22(cosα－sinα)，∵α∈π4，π，∴cosα－sinα≠0，∴3(cosα＋sinα)＝22，∴cosα＋sinα＝223，1＋sin2α＝89，∴sin2α＝－19.37．[2016·云南一检]cosπ9·cos2π9·cos－23π9＝()A．－18B．－116C.116D.18答案A解析cosπ9·cos2π9·cos－23π9＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.8．[2016·运城质检]已知向量a＝sinα＋π6，1，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，则sinα＋4π3＝()A．－34B．－14C.34D.14答案B解析∵a⊥b，∴a·b＝4sinα＋π6＋4cosα－3＝23sinα＋6cosα－3＝43sinα＋π3－3＝0，∴sinα＋π3＝14.∴sinα＋4π3＝－sinα＋π3＝－14.9．[2015·江苏高考]已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________．4答案3解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tanα1＋α＋βα＝17－－1＋17－＝3.10．[2016·滨州模拟]已知cosπ4－α＝1213，α∈0，π4，则cos2αsinπ4＋α＝________.答案1013解析解法一：由cosπ4－α＝1213，得sinα＋cosα＝12213，两边平方，得1＋2sinαcosα＝288169，∴2sinαcosα＝119169，∵α∈0，π4，∴cosαsinα，∴cosα－sinα0，∴cosα－sinα＝α－sinα2＝1－2sinαcosα＝5213，∴cos2αsinπ4＋α＝cos2α－sin2α22sinα＋22cosα＝2(cosα－sinα)＝1013.解法二：sinπ4＋α＝sinπ2－π4－α＝cosπ4－α＝1213.∵α∈0，π4，∴0π4－απ4，∴sinπ4－α＝1－cos2π4－α＝513，∴cos2α＝sinπ2－2α＝2sinπ4－αcosπ4－α＝120169，5∴cos2αsinπ4＋α＝1013.11．已知函数f(x)＝sinx2sinπ2＋x2.(1)求函数f(x)在[－π，0]上的单调区间；(2)已知角α满足α∈0，π2，2f(2α)＋4fπ2－2α＝1，求f(α)的值．解f(x)＝sinx2sinπ2＋x2＝sinx2cosx2＝12sinx.(1)函数f(x)的单调递减区间为－π，－π2，单调递增区间为－π2，0.(2)2f(2α)＋4fπ2－2α＝1⇒sin2α＋2sinπ2－2α＝1⇒2sinαcosα＋2(cos2α－sin2α)＝1⇒cos2α＋2sinαcosα－3sin2α＝0⇒(cosα＋3sinα)(cosα－sinα)＝0.∵α∈0，π2，∴cosα－sinα＝0⇒tanα＝1得α＝π4，∴f(α)＝12sinπ4＝24.12．已知函数f(x)＝2cosxsinx＋π3－32.(1)求函数f(x)的最小正周期和初相；(2)若关于x的方程f(x)＋log2k＝0在区间0，5π12上总有实数解，求实数k的取值范围．解(1)f(x)＝sinxcosx＋3cos2x－32＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x＋π3，所以f(x)的最小正周期为T＝π，f(x)的初相为π3.(2)因为x∈0，5π12，2x＋π3∈π3，7π6，所以sin2x＋π3∈－12，1.6又log2k＝－sin2x＋π3，－sin2x＋π3∈－1，12，要使方程f(x)＋log2k＝0在区间0，5π12上总有实数解，只要－1≤log2k≤12，解得12≤k≤2.[B组·能力提升练]1．[2015·南宁二模]函数f(x)＝12(1＋cos2x)sin2x(x∈R)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π2的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π2的偶函数答案D解析注意到sin2x＝12(1－cos2x)，因此f(x)＝14(1＋cos2x)(1－cos2x)＝14(1－cos22x)＝14sin22x＝18(1－cos4x)，即f(x)＝18(1－cos4x)，f(－x)＝18(1－cos4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数，选D.2．[2016·唐山质检]已知函数f(x)＝asinx－bcosx(a，b为常数，a≠0，x∈R)在x＝3π4处取得最小值，则函数y＝fπ4－x是()A．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B．偶函数且它的图象关于点3π2，0对称C．奇函数且它的图象关于点3π2，0对称D．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称答案D解析f(x)＝asinx－bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)．∵f(x)在x＝3π4处取得最小值，∴3π4＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ－54π(k∈Z)，∴fπ4－x＝a2＋b2sinπ4－x＋2kπ－54π7＝－a2＋b2sin(－x)＝a2＋b2sinx，∴fπ4－x是奇函数，且图象关于点(kπ，0)(k∈Z)对称，故选D.3．[2016·广东六校联考]已知函数f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12sinπ2＋φ(0φπ)，将函数f(x)的图象向左平移π12个单位后得到函数g(x)的图象，且gπ4＝12，则φ＝________.答案2π3解析∵f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12sinπ2＋φ＝12sin2xsinφ＋cos2x＋12cosφ－12cosφ＝12sin2xsinφ＋12cos2xcosφ＝12cos(2x－φ)，∴g(x)＝12cos2x＋π12－φ＝12cos2x＋π6－φ.∵gπ4＝12，∴2×π4＋π6－φ＝2kπ(k∈Z)，即φ＝2π3－2kπ(k∈Z)．∵0φπ，∴φ＝2π3.4．已知函数f(x)＝2sin2x＋π4－22cosx－π4－5a＋2.(1)设t＝sinx＋cosx，将函数f(x)表示为关于t的函数g(t)，求g(t)的解析式；(2)对任意x∈0，π2，不等式f(x)≥6－2a恒成立，求a的取值范围．解(1)f(x)＝1－cos2x＋π2－2(cosx＋sinx)－5a＋2＝sin2x－2(cosx＋sinx)－5a＋3，因为t＝sinx＋cosx，所以sin2x＝t2－1，其中t∈[－2，2]，即g(t)＝t2－2t－5a＋2，t∈[－2，2]．(2)由(1)知，当x∈0，π2时，t＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4∈[1，2]，又g(t)＝t2－2t－5a＋2＝(t－1)2－5a＋1在区间[1，2]上单调递增，所以g(t)min＝g(1)＝1－5a，从而f(x)min＝1－5a，要使不等式f(x)≥6－2a在区间0，π2上恒成立，只要1－5a≥6－2a，解得：a≤－53.8