Lecture3产品数字化造型技术

计算机辅助设计与制造Lecture3产品数字化造型技术周驰[e-mail]87110594-805产品造型(modeling)的概念定义：研究如何以数学方法在计算机中表达物体的形状、属性及其相互关系，以及如何在计算机中模拟模型的特定状态。任务：是使计算机能够识别和处理对象，并为其他产品数字化开发模块提供原始信息。分类：60年代：线框造型技术70年代：自由曲面造型和实体造型技术80年代：参数化造型实体模型自由曲面的几何模型实体模型表示实体模型的方法大致上可以分为两种：•边界表示法线框模型（BounaryRepresentation，B-Reps）•体素构造法实体模型（ConstructiveSolidGeometry，CSG）采用边界表示法的实体模型---线框模型线框模型的优点（1）数据结构简单、模型所需数据量小、处理时间短、建模方便、操作容易。（2）线框模型包含了形体的三维数据，可以产生任意视图。线框模型的缺点-11.易产生多义性线框模型的缺点-22.拓扑关系缺乏有效性线框模型的缺点-32.线框模型的信息不完整表面模型表面模型的优点•增加了面的信息。可以支持渲染、数控刀具轨迹生成等应用。•曲面造型方法丰富。可以利用曲面的求交、拼合、重建等多样化手段来生成所需要的不规则曲面。表面模型的缺点•无法明确定义实体的存在侧。•多义性问题仍然存在。•无法计算和分析物体的物性（如表面积、体积等）实体存在侧的表示方法（1）定义表面的同时，给出实体存在侧的一个点P；（2）用一外向法矢量指明实体存在侧；（3）用有向棱线表示外向（通常为右手法则）法矢量的方向。实体模型几何元素的类型点：几何造型中最基本的元素边：两个或者多个相邻面之间的交界；具有方向性面：形体表面一个有限、非零的区域环：由有序、有向边组成的面的封闭边界；具有方向性体：由封闭表面围成的三维几何空间壳：由一组连续的面围成；分为外壳和内壳几何信息和拓扑信息几何信息：用以表示几何元素的性质和度量关系，如位置、大小和方向等。形体是由几何信息和拓扑信息共同定义的。拓扑信息：用以表示几何元素之间的连接关系。几何形体的层次结构点（vertex)边（Edge)外壳（Shell)环（Loop)面（face)体（Body)体素构造法采用体素表示法的实体模型体素的定义平面形状的布尔运算AB=ABA-B=AB立体形状的布尔运算边界表示法和体素构造法的比较自由曲线与自由曲面的几何建模构成汽车车体和人脸等的曲面用数学解析式来表达很困难。这种曲面称为自由曲面。同样，难以用数学解析式表达的曲线称为自由曲线。问题的提出•如何表达这条曲线？•如何表现这条曲线？•如何进行修改和编辑？曲线的显式、隐式和参数表示1.显式表示y=f(x);e.g.y=mx+b缺点:给定一个X值，只能得到一个Y值，不能表示多值曲线(一个X对应多个Y值).2.隐式表示f(x,y)=0;缺点:与坐标轴相关；会出现斜率为无穷大的情况；不便于计算和编程序。22220axbxycyeyf3.参数表示在平面曲线的参数表示中，曲线上的每一点的坐标均要表示成一个参数化，例如用参数t表示，则曲线上每一点迪卡尔坐标的表达式:x=x(t)y=y(t)曲线上一点坐标的矢量表示是:P(t)=[x(t)y(t)]010010()[0,1]()xxtxxtyytyy参数表示的优越性•具有几何不变性，与坐标系的选取无关•曲线的控制变量增加，有更大的自由度•可以处理斜率无穷大的情形•规格化的参数变量，自然具有边界•便于将低维的曲线推广到高维自由曲线的表示在CAD／CAM／CAE系统中，要表达设计者在大脑中描绘出的三维空间自由曲线，常采取将给定的曲线分成若干段，用比较简单的数学式子来表达各段曲线的方法。为此，先在计算机内设定x,y,z轴，用参数方程的形式来表示分段曲线。若改变式中的t值，则点P（x，y，z）就会在空间移动，因而很清楚，上式表示的是空间曲线。曲线分段表达123()()()xftyftzft()PPt(01)t010101()...()...()...nnnnnnxtxxtxtytyytytztzztzt000111()1............nnnnxyzxyzPtxyzttTMxyz主要的曲线表达方法•内插法就是将函数P(t)以简单多项式的形式给出，多项式的系数由分段节点上的连续条件来确定。•近似法是在分段节点之外再指定若干个控制点，使函数P(t)不一定通过控制点，但要接近控制点，由此来确定函数P(t)。Ferguson曲线/三次Hermite曲线32()tt1t0,1PttM将两个端点t＝0和t＝1得：对t求导数得：将t＝0和t＝1分别代入(3—3)式得：32()tt1t0,1PttMFerguson曲线方程三次Hermite曲线缺点：1.设计条件与曲线始末两点的切矢大小和方向有关，设计时不易控制；2.如果定义高次Ferguson曲线．需要用到曲线始末两点的高阶导数。贝塞尔曲线-近似法''000000/()ccQQQpQpQQ或''111111/()ccQQQpQpQQ或1c0c1011c00c10pQ-pQp)Q(-2p)Q-(2pQpQ-pQ-pQQ22Q1.当p-0时，曲线退化为直线段。2.当p＝0~3时p越大，曲线越逼近控制多边形；3.当p＞3时，曲线不再保凸，即曲线不再位于控制多边形围成的凸包内或闭环(自相交)，曲线持性变差；,00()(1)nniniitniiniiiPtCttQBQ30212233()(1)()3(1)()3(1)()xttxtttxtttxtt3i0P(t)=x()iitQ伯恩斯坦(Bernstein)基函数1.位置：曲线首尾端点分别经过折线多边形的首末点，即P(0)＝Q0，P(1)＝Qn2.切矢：由B函数的导数性质，可以推出所以，起点切矢P’(0)＝n(Q1-Q0)，P’(1)＝n(Qn–Qn-1)。3.对称性：由Bernstein基函数的对称性可知，控制点的走向Q0-Q1—Q2一Q3颠倒后，曲线形状不变，但走向相反；4.凸包性：Bezier曲线位于其控制顶点Q0到Qn组成的凸包中(这是由Bernstein基函数的正性与权性保证的)。5.保凸性：如果平面控制多边形是凸的(即多边形的任意两个顶点的连线都在多边形内或其边界上)，则Bezier曲线也是凸的；6.几何不变性：曲线的形状不随坐标系的变化而变化；7.变差减少性：对平面Bezier曲线而言，平面内任意一直线与Bezier曲线的交点个数不多于该直线与控制多边形的交点个数。这说明曲线比控制多边形的波动小(更光顺)。复杂Bezier曲线是通过多段简单Bezier曲线拼接而成的。两段曲线首末相连时，根据在连接点处的连续性条件不同，常分为几种几何连续(GC)情况：自由曲线的连续性GC0：零阶几何连续。第一段曲线末点与第二段曲线起点重合。设两段曲线的起点和末点分别为p(0)，p(1)，q(0)，q(1)，则p(1)＝q(0)。对Bezier曲线而言，如果后一段曲线的第一个控制点与前一段曲线的最后一个控制点重合，那么两段曲线是GC0连续的。GC1：一阶几何连续。如果后一段曲线的第一个控制点与前一段曲线的最后一个控制点重合，并且后一段曲线的控制多边形的第一条边与前一段曲线的控制多边形的最后一条边在一条直线上。GC2：二阶几何连续。同时满足GC1的条件，而且后一段曲线的第一个控制点与前一段曲线的最后一个控制点主法矢方向一致，曲率相同时为二阶连续。UG曲线的连续性Bezier曲线在自由曲线／曲面设计上得到了广泛的应用，但也存在一些不足，主要是存在着以下几个问题：(1)很复杂的Bezier曲线不分段时，如果控制多边的顶点数为(N十1)，也就定义了曲线的次数为N．一般控制多边的顶点数较多．因而曲线的次数很高，数学计算很复杂；采用分段Bezier曲线时，如果要求拼接达到GC2连续，连续条件的计算相当繁琐。(2)权函数在开区间(0,1)内均不为零，因此所定义的曲线在开区间的任何一点均要受所有顶点的影响，即改变其中任一个顶点的位置对整个曲线都有影响。因而，不便对曲线进行局部修改。(3)当曲线的次数N较大即控制多边形边数较多时，多边形对曲线的控制减弱，即逼近曲线的程度减弱。B样条曲线,101()(1)()!nijjninnjXtCtnijn0t1(i=0,1,...,n),101()(1)()!nijjninnjXtCtnijn110,1200011221()(1)(10)1!(1)(1)(1)()121jjjXtCtjCtCtttt01,1200021()(1)()1!(1)()jjjXtCtjCtt二阶一次B样条曲线将n＝1代入(3—10)式得两个控制点定义一段B样条曲线，如果给定一系列控制点，则第i段B样条曲线方程为显然，此时曲线是直线段，就是特征多边形的边。移动控制顶点Q，只影响Qi-1Qi和QiQi+1二段。如图所示。0,1()1xtt1,1()xtt11,110()(1)()iiijjijPttQtQXtQ三阶二次B样条曲线将n＝2代入上(3—10)式得第i段曲线方程为220,221,222,2111()(-1)2221()-21()2XttttXtttXtt20,211,22,21,10()()iiiijijijPtXQXQXQXtQ可以发现Pi段二次B样条曲线由Qi-1，Qi，Qi+1三个控制点定义，Pi+1段曲线由Qi，Qi+1，Qi+2三个控制点定义(即往后顺移一个控制点)。图3-15所示为Q0，Q1，Q2，Q3四个控制点构成的二次B样条曲线。B样条曲线的递归定义非均匀有理B样条(NURBS)曲线Non-UniqueRatioanalB-Spline近年来．随着CAGD的发展，NURBS技术有了较快的发展和较广泛的应用，其主要原因在于:1.对标准的解析曲线(如圆锥曲线等)和自由曲线提供了统一的数学描述，便于工程数据库的管理相应用；2.保留了B样条曲线的节点插入、修改、分割以及修改控制点等强有力的技术，而且还具有修改权因子来方便地修改曲线形状的能力3.具有几何变换不变性4.非有理B样条曲线、有理及非有理Bezier曲线等均为NURBS曲线的表示待例。因此NURBS曲线具有更强的表达功能NURBS曲线方程自由曲面的表示要用数学式近似表达自由曲面，可以将自由曲线的表示方法向曲面推广。对给定的曲面进行细分，用比较简单的数学方程式来近似表示各分割曲面。此时的分割曲面的各个单元称为曲面元。自由曲面的方程(,)PPuv仿照参数曲线的定义，参数曲面可看成是一条变曲线按某参数v运动形成的轨迹，即参数曲面可表示为，这里两个u、v是描述曲面的参数，故这种曲面叫双参数曲面，一般表示为；)(urr),(vurr)],(),,(),,([),(vuzvuyvuxvurCoons曲面00011011000100011011101100011011c2-211-33-2-1M=00101000vvvvijuuuvuvuuuvuvQQQQQQQQQQQQQQQQQBezier曲面33323200(,)11TTBijBijPuvuuuMQMvvv特征造型和参数化造型技术CAD技术发展第一场CAD技术革命—曲面造型技术（70年代初）达索飞机制造公司贝塞尔曲面CATIA价格昂贵，租用一套CATIA的年租金需15～20万美元软件商品化程度低，开发者本身就是CAD大用户，彼此之间技术保密CV由美国波音(Boeing)公司支