高考数学函数复习教案

2013届高考数学函数复习教案2013高中数学精讲精练第二章函数【知识导读】【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”．4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．第1课函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．【基础练习】1．设有函数组：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．2.设集合，，从到有四种对应如图所示：其中能表示为到的函数关系的有_____②③____．写出下列函数定义域：(1)的定义域为______________；(2)的定义域为______________；(3)的定义域为______________；(4)的定义域为_________________．4．已知三个函数:(1)；(2)；(3)．写出使各函数式有意义时，，的约束条件：(1)______________________；(2)______________________；(3)______________________________．5.写出下列函数值域：(1)，；值域是．(2)；值域是．(3)，．值域是．【范例解析】例1.设有函数组：①，；②，；③，；④，．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；在②中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．例2.求下列函数的定义域：①；②；解：（1）①由题意得：解得且或且，故定义域为．②由题意得：，解得，故定义域为．例3.求下列函数的值域：（1），；（2）；（3）．分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．（1）解：，，函数的值域为；（2）解法一：由，，则，，故函数值域为．解法二：由，则，，，，故函数值域为．（3）解：令，则，，当时，，故函数值域为．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】1．函数f(x)＝的定义域是___________．2．函数的定义域为_________________．函数的值域为________________．函数的值域为_____________．5．函数的定义域为_____________________．6.记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a1)的定义域为B．(1)求A；(2)若BA，求实数a的取值范围．解：(1)由2－≥0，得≥0，x－1或x≥1，即A=(－∞，－1)∪[1，+∞)．(2)由(x－a－1)(2a－x)0，得(x－a－1)(x－2a)0．∵a1，∴a+12a，∴B=(2a，a+1)．∵BA，∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2，而a1，∴≤a1或a≤－2，故当BA时，实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[,1)．第2课函数的表示方法【考点导读】1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．【基础练习】1.设函数，，则_________；__________．2.设函数，,则_____3_______；；．3.已知函数是一次函数，且，,则__15___．4.设f(x)＝，则f[f()]＝_____________．5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．【范例解析】例1.已知二次函数的最小值等于4，且，求的解析式．分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．解法一：设，则解得故所求的解析式为．解法二：，抛物线有对称轴．故可设．将点代入解得．故所求的解析式为．解法三：设，由，知有两个根0，2，可设，，将点代入解得．故所求的解析式为．点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出的函数解析式．分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．解：当时，直线方程为，当时，直线方程为，点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．【反馈演练】1．若，，则（D）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．已知，且，则m等于________．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．求函数g(x)的解析式．解：设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则∵点在函数的图象上第3课函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．【基础练习】1.下列函数中：①；②；③；④．其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___．2.函数的递增区间是___R___．3.函数的递减区间是__________．4.已知函数在定义域R上是单调减函数，且，则实数a的取值范围__________．5.已知下列命题：①定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；②定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数；③定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；④定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数．其中正确命题的序号有_____②______．【范例解析】例.求证：（1）函数在区间上是单调递增函数；（2）函数在区间和上都是单调递增函数．分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．证明：（1）对于区间内的任意两个值，，且，因为，又，则，，得，故，即，即．所以，函数在区间上是单调增函数．（2）对于区间内的任意两个值，，且，因为，又，则，，得，故，即，即．所以，函数在区间上是单调增函数．同理，对于区间，函数是单调增函数；所以，函数在区间和上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值，；（2）作差，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．例2.确定函数的单调性．分析：作差后，符号的确定是关键．解：由，得定义域为．对于区间内的任意两个值，，且，则又，，，即．所以，在区间上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．【反馈演练】1．已知函数，则该函数在上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________．2．已知函数在上是减函数，在上是增函数，则__25___函数的单调递增区间为函数的单调递减区间为．已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．解：设对于区间内的任意两个值，，且，则，，，得，，，即．第4课函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．【基础练习】1.给出4个函数：①；②；③；④．其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____．2.设函数为奇函数，则实数－1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（A）A.B.C.D.【范例解析】例1.判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．解：（1）定义域为，关于原点对称；,所以为偶函数．（2）定义域为，关于原点对称；，，故为奇函数．（3）定义域为，关于原点对称；，且，所以既为奇函数又为偶函数．（4）定义域为，不关于原点对称；故既不是奇函数也不是偶函数．（5）定义域为，关于原点对称；，，则且，故既不是奇函数也不是偶函数．（6）定义域为，关于原点对称；，又，，故为奇函数．点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即或判断，注意定义的等价形式或．例2.已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，求函数的解析式，并指出它的单调区间．分析：奇函数若在原点有定义，则．解：设，则，．又是奇函数，，．当时，．综上，的解析式为．作出的图像，可得增区间为，，减区间为，．点评：（1）求解析式时的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“”实现转化；（4）根据图像写单调区间．【反馈演练】1．已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（D）A．B．C．D．2.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（B）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为____1，3___．4．设函数为奇函数，则________．5．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是（－2，2）．已知函数是奇函数．又，,求a，b，c的值；解：由，得，得．又，得，而，得，解得．又，或1．若，则，应舍去；若，则．所以，．综上，可知的值域为．第5课函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法．【基础练习】1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：（1）；（2）．2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）；（2）；（3）．解：（1）将的图像向下平移1个单位，可得的图像．图略；（2）将的图像向右平移2个单位，可得的图像．图略；（3）由，将的图像先向右平移1个单位，得的图像，再向下平移1个单位，可得的图像．如下图所示：3.作出下列各个函数图像的示意图：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）作的图像关于y轴的对称图像，如图1所示；（2）作的图像关于x轴的对称图像，如图2所示；（3）作的图像及它关于y轴的对称图像，如图