2011年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析

12011年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•辽宁）a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2B．C．D．1【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有【分析】根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3由a为正实数解得a=故选B【点评】本题考查的知识是复数代数形式的混合运算，其中利用复数模的定义构造出关于参数a的方程，是解答本题的关键．2．（5分）（2011•辽宁）已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（∁IM）=∅，则M∪N=（）A．MB．NC．ID．∅【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【专题】图表型．【分析】利用韦恩图分别画出满足题中条件：“N∩（∁IM）=∅，”的集合M，N，再考查它们的关系，最后转化为集合之间的关系即可选出正确的选项．【解答】解：利用韦恩图画出满足题意M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（∁IM）=∅的集合．由图可得：M∪N=M．故选A．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算、集合间的关系以及韦恩图，较简单．3．（5分）（2011•辽宁）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）2A．B．1C．D．【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选C．【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．4．（5分）（2011•辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2B．2C．D．【考点】正弦定理的应用．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理可气的sinA和sinB的关系，最后利用正弦定理求得a和b的比．【解答】解：∵asinAsinB+bcos2A=a∴由正弦定理可知sin2AsinB+sinBcos2A=sinA∴sinB（sin2A+cos2A）=sinB=sinA∴==选D【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．考查了利用正弦定理进行边角问题的互化．5．（5分）（2011•辽宁）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．3【考点】条件概率与独立事件．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果．【解答】解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），∴p（A）=，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴P（AB）=∴P（B|A）=．故选B．【点评】此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．6．（5分）（2011•辽宁）执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）A．8B．5C．3D．2【考点】循环结构．菁优网版权所有【专题】图表型．【分析】根据输入的n是4，然后判定k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，依此类推，当k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，求出此时p的值即可．【解答】解：k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=14k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3故选：C【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．7．（5分）（2011•辽宁）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值．【解答】解：由sin（+θ）=sincosθ+cossinθ=（sinθ+cosθ）=，两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．故选A【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．8．（5分）（2011•辽宁）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质．菁优网版权所有【专题】综合题；探究型．【分析】根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，5∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．9．（5分）（2011•辽宁）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【考点】对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有【专题】分类讨论．【分析】分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选D．【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．10．（5分）（2011•辽宁）若为单位向量，且=0，，则的最大值为（）A．﹣1B．1C．D．2【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．菁优网版权所有【专题】计算题；整体思想．【分析】根据及为单位向量，可以得到，要求的最大值，只需求的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得．【解答】解：∵，6即﹣+≤0，又∵为单位向量，且=0，∴，而==3﹣2≤3﹣2=1．∴的最大值为1．故选B．【点评】此题是个中档题．考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力．11．（5分）（2011•辽宁）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l）D．（﹣∞，+∞）【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有【专题】压轴题；函数思想．【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=﹣1代入F（x）中，由f（﹣1）=2出F（﹣1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选B【点评】此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题．12．（5分）（2011•辽宁）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3B．2C．D．1【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S△SCD，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30°得：AC=2，SA=27又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30°得：BC=2，SB=2则：SA=SB，AC=BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===又SD交CD于点D所以：AB⊥平面SCD即：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S△SCD，因为：SD=，CD=，SC=4所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==则：sin∠SDC==由三角形面积公式得△SCD的面积S=SD•CD•sin∠SDC==3所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S△SCD==故选C【点评】本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•辽宁）已知点（2，3）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据：﹣=1判断该双曲线的焦点在x轴上，且C的焦距为4，可以求出焦点坐标，根据双曲线的定义可求a，利用离心率的公式即可求出它的离心率．【解答】解：∵﹣=1，C的焦距为4，∴F1（﹣2，0），F2（2，0），8∵点（2，3）在双曲线C上，∴2a==2，∴a=1，∴e==2．故答案为2．【点评】此题是个基础题．考查双曲线的定义和标准方程以及简单的几何性质，同时也考查了学生的运算能力．14．（5分）（2011•辽宁）调查了某地若干户家庭的年收x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，井由调查数据得到y对x的回归直线方程．由回归直线方程可知，