风险理论-第1章-效用理论与保险

风险理论教材：R.卡尔斯，M.胡法兹等《现代精算风险理论》，科学出版社，2019.参考书：吴岚，王燕:《风险理论》，财经出版社，2019肖争艳:《风险理论》，人大，2019邹公明，范兴华：《风险理论》，上海财大，2019风险理论与保险精算概述《风险理论》--准精算师考试科目一、风险的概念人们习惯用“风险”这个词来表达可能发生的不利事件和各种灾害。但是由于所面对的具体问题和环境的不同，每个人对风险这个概念的理解和描述也各不相同。风险是“无法预知”或“未卜先知”的。讨论题1.根据自身经历，对风险进行描述；2.2.试想，如果人类能具备预知未来的能力，世界会是什么样子？我们的生活又会是什么样子？二、风险的三要素风险与三个因素直接有关：自然状态的不确定性（人们不能预知的或无法控制的自然状态—风险的客观或外部原因）；人的主观行为的不确定性（当事人或决策者的行为—风险的主观或内部原因）；两者结合所蕴涵的潜在后果。三、风险的保险学定义在保险学中，风险由两部分构成：潜在不利后果的严重程度如何；发生不利后果的可能性多大。风险被简单地定义为“潜在损失的概率”。四、保险业务分类寿险：以被保险人的生命为标的，以生死为事故。寿险的保险期相对较长，损失分布的规律（生命表）也比较稳定。非寿险：除了寿险以外的一切保险业务，如财物险、车辆险等。非寿险多为短期保险，损失情况五花八门，损失分布规律也比较复杂。五、保险精算的基本问题精算学以现代数学和统计学为基础,对保险经营中的某些问题进行定量化的分析和研究,为保险公司进行科学决策和提高管理水平提供依据和方法。精算师要解决的几个基本问题：（1）保费设计；（2）准备金评估；（3）再保险设计；（4）资产负债与偿付能力管理。中国精算师资格考试中国精算师资格考试分为两个层次，第一层次为准精算师资格考试，第二层次为精算师资格考试。准精算师考试目的在于考察考生对保险精算的基本原理和技能的掌握，并涉及基本保险精算实务，考试课程共设9门，均为必考课程。准精算师资格考试科目01数学基础（Ⅰ）：微积分、线性代数、运筹学02数学基础（Ⅱ）：概率论、数理统计、应用统计03复利数学04寿险精算数学05风险理论：损失分布、风险模型、效用理论06生命表基础07寿险精算实务08非寿险精算数学与实务09综合经济基础课程内容第一章效用理论与保险第二章个体风险模型第三章聚合风险模型第四章破产理论第五章保费原理第一章效用理论与保险本章主要内容本章从效用理论出发，研究风险决策的基本原理以及在保费设计中的应用，并分析了不同风险态度的决策人的风险决策结果，最后应用期望效用原理给出了一定条件下最优再保险的结论。具体内容包括风险决策的基本问题描述、期望效用原理、风险态度分析、保费设计原理分析、最优再保险的结论及其应用。§1.1引言本书第二至第四章讨论的个体风险模型、聚合风险模型和破产理论，无疑是分析和解决保险公司经营管理中诸多关键问题如产品定价、准备金提留、再保险自留额安排等问题的基础。然而这些讨论都是基于对理赔风险的正确把握进行的，这仅是问题的一个方面。本章是从另外的角度，也就是从决策者的主观角度来讨论风险决策问题，具体是从保险人或被保险人的偏好出发讨论他们的风险态度。并用效用函数作为描述和度量决策者偏好和风险态度的工具。效用理论的几个基本假设假设决策者使用函数值uw（被称为效用函数）去衡量其财富，而不是用财富w本身去衡量。如果决策者必须在随机损失X和Y之间进行选择，他会去比较EuwX和EuwY，并选择期望效用较大的那个损失。利用这个模型，对于随机损失X，拥有财富w的被保险人，就可以决定为此支付的最大保费P了。这可以由均衡方程EuwXuwP求出。保险人使用自己的效用函数和可能的附加费用，决定一个最小的保费P。如果保费介于被保险人的最大保费P和保险人的最小保费P之间，保险人与被保险人双方的效用就都增加了。风险态度：对待风险的态度可以分为三种：风险厌恶、风险偏好和风险中性。例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的机会得到10000元钱，99.9%的机会什么也得不到。B：100%的机会得到10元。选择A？或B？选择A：偏好风险；选择B：厌恶风险例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的失去10000元钱，99.9%的机会不损失。B：100%的机会失去10元。选择A？或B？选择B：厌恶风险选择A：偏好风险§1.2期望效用模型假设一个个体面临损失额为B，发生概率为0.01的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份保单支付保费P，B和P之间有何种关系？根据均衡方程，该个体愿意支付的最大保费为0.01PB。•如果B非常小，那么P几乎不会大于0.01B；•如果B略微大一点，如500，那么P就可能比5稍大一些；•如果B非常大，那么P就会比0.01B大很多。结论：因为这么大的损失一但发生可能导致破产，因此可以付出比期望值高的费用为风险投保。例1.2.1(圣彼得堡悖论)以价格P元参与如下的游戏。抛掷一枚均匀的硬币，直到出现正面为止。如果投掷n次才首次出现正面，则游戏的参与者就可以获得2n元。因此，从该游戏中获得的期望收益是1122nnn。然而，除非P很小，否则很少有人会参加这样的游戏，因为往往抛掷几次游戏就结束了。这就意味着人们并不仅仅看到期望收益。边际效用递减原理效用的概念是丹尼尔.伯努利在解释圣彼得堡悖论时提出来的主要包括两条原理：边际效用递减原理和最大期望效用原理。边际效用递减原理：个人对所追求的商品和财富的满足程度由其效用值衡量，且随着其商品和财富的绝对数量的增加而增加，但增加的速率却随着其绝对数量的增加而逐渐降低。讨论题：举例说明上述原理的正确性。边际效用原理的主要涵义商品和财富的效用概念。如果用x代表某件商品的价值或者一定的财富值，那么该个体对这件商品或这笔财富的满足程度，或者说它对于该个体的主观价值就是x的效用。边际效用递减原理。它包含两层含义，其一说明人们对于商品和财富的占有是多多益善的，因此效用函数ux是一个增函数，即一阶导数'0ux；其二说明随着商品或财富数额的不断增加，满足程度虽然也在增加，但增加的速度却在不断下降，即ux是个凹函数，二阶导数0ux。最大期望效用原理上述原理提出了效用函数的概念和常见效用函数的特征。但是在有些经济决策中面临着不确定的情况，也就是说商品或财富的价值是不确定的、随机的，下面的原理揭示在这种情况下进行经济决策的基本原则。最大期望效用原理：在具有风险和不确定的条件下，个人进行决策的行为动机和准则是获得最大的期望效用值，而不是获得最大的实际金额的期望值。上述原理刻画了风险和不确定情况下的一般决策准则，它表明，在有风险和不确定的情形，人们一般追求最大的期望效用。根据这个原理，由冯·诺伊曼（vonNeumann）和摩根斯特恩（Morgenstern）于1947年引入的模型描述了决策者怎样在不确定的结果中做出选择，这个模型包含三个内容：引进一个评估财富w的效用函数u，决策基于期望EuwX，如果有二个损失X，Y，比较EuwX与)]([YwuE的大小来决定。效用函数ux与其线性变换,0auxba的等价性。为比较两个随机损失X和Y，无论选择效用函数ux本身还是它的线性变换auxb，都会得出相同的决策，即等价于效用函数的确定人们在做某个决策时，不自觉地使用这效益函数，因此效用函数是客观存在的，但却很难给出一个明确的解析式。可以向决策人提出大量的问题，通过他们对这些问题的回答来决定该决策人的效用函数。如“为了避免以概率q损失1个单位货币，你愿意支付多少保费P？”例1.2.2（偏好风险与厌恶风险）假设一个拥有资本w的个体使用效用函数u衡量其财富的价值。他面临两种选择：A．以概率1/2损失b元；B．仅支付固定的b/2元。他的决策是这样的：当b=1时，他选择A；（风险偏好）当b=4时，他选择B；（风险厌恶）当b=2时，两种选择等价。（风险中性）效用函数的基本特征风险厌恶者的效用函数ux的特点：'0,0uxux，凹函数风险偏好者的效用函数ux的特点：'0,0uxux，凸函数风险中性人的效用函数ux的特点：：'0,0uxux，直线定理1.2.3(Jensen不等式）如果v是一个凸函数，Y是一个随机变量，则，其中等号成立当且仅当v是线性的或0VarY；对于一个凹的效用函数u，有，Jensen不等式的证明证：设随机变量Y的分布函数是Fy，则EvYvydFy。将vY在EY点展开成泰勒级数：22'2vvYvvYYY因为vY是凸函数，0v，因此2'vYvvYY上面不等式两侧分别对dFy积分并略去高阶无穷小项，得EvYvvEY对于凹函数ux，因0ux，上面的不等式反号。现在，假设一个风险厌恶型的被保险人拥有财富w，使用效用函数是u，他以保费P获得对损失X的保险保障。根据Jensen不等式根据Jensen不等式确定保费（1）被保险人方面：如果上面的不等号成立，意味着他的期望效用将会提高。如果用P代表被保险人愿意支付的最大保费，它是以下效用均衡方程的解EuwXuWP，（1.10）由于u是一个非减的连续函数，则有PP。设保险人的效用函数为U，原始本金为W。如果EUWPXUW，那么保险人将以保费P承保损失X。上述不等式意味着保险人选用的效益函数是个凸函数。（2）保险人方面：如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。如果用P表示保险人要求的最小保费，可从反映保险人状况的效用均衡方程中解出：如果()Ux是一个非减的连续函数，则有PP。如果PP，那么达成交易会同时增加被保险人与保险人双方的期望效用。成交！理论上，保险人被视为风险中性的，即对于任意的风险X，如果不考虑额外费用（风险附加费、运营费和利润等），有期望保费E[X]就够了。由大数定律可知：12...nXXXEXn然而，事实上，没有哪个保险人以损失的期望值承保。风险厌恶系数效用函数()ux在财富W处的风险厌恶系数()rw为''()()'()uwrwuw（1.17）显然，对于风险厌恶者，总有()0rw而对于风险偏好的人，有()0rw记EX和2分别表示X的均值与方差，利用u在点w处级数展开的前几项，有在后面式子的两边同时取期望，得到例1.2.4（风险厌恶系数）给定效用函数ux，我们如何近似计算针对风险X所需最大保费P？因此，风险X的最大保费近似为P使用风险厌恶系数，则对风险X所需最大保费近似为由上式可见，均值-方差保费原理是合理的。P将（1.13）与（1.14）代入（1.10），得到Pr注意到用替换时，并没有改变。从（1.18），我们可以看到风险厌恶系数真正反映了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，需要支付的保费也越大。uxauxbrw§1.3效用函数族线性效用函数的风险厌恶系数是0；指数效用函数的风险厌恶系数是；其它效用函数的风险厌恶系数均可表示为。1w例1.3.1（指数保费）假设一保险人使用参数为的指数效用函数，对于风险X，最小保费应为多少？1P把代入均衡方程（1.11）得xUxe其中是X的矩母函数，代表风险厌恶系数。指数保费随着增加而增加，而与保险人当前的财富无关。更有意义的是，被保险人的最大保费的表达同，但是其使用的参数会有所不同。xxmEePmax0lim,limPEXPX纯保费最大索赔额矩母