2008年大学生数学建模竞赛B题优秀论文(1)

1高等教育学费的优化模型摘要高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，我国普通高等学校学费问题已经成为社会关注的热点问题。本文就高等学校的学费标准进行了探讨。学费标准的高低是学校和学生都非常关注的问题，对学校而言，校方希望能提高学费标准，有更多的经费来保证高等教育的培养质量。对学生而言，特别是对贫困学生，过高的学费，将对其家庭造成较大压力，甚至支付不起学费。本文根据中国国情，收集了：国家生均拨款、培养费用、家庭收入，大学本科毕业生毕业2年的工资期望，各专业的生均培养费用等数据，并进行统计、归纳。在市场竞争机制下，公平的分析问题，分别建立学生对学费的加权满意度函数和学校对学费的加权满意度函数。然后构造使双方满意度之和最大，同时双方满意度之差的绝对值最小的双目标函数，学费还要满足约束条件：1)、学费＋国家生均拨款＋生均社会资助=生均培养费用；2)、学费=平均可支配的家庭收入。用MATLAB优化工具箱进行求解，得到了不同专业学费标准的最优值，结果见图表－4。最后，我们对模型的优缺点进行了评价，讨论了其推广应用的价值，并给有关部门写了建议性的报告，提出某方面的改革措施。关键字：二八原则法，个人期望收益，加权满意度，MATLAB优化工具箱2一、问题重述在竞争激烈的当代，一个国家教育质量的好坏直接关系到民族的发展、社会的和谐稳定；国家高素质人才的培养，创新能力的增强都离不开高质量的教育做保障。因此，抓住机遇，全面提高高等教育人才培养质量至关重要。我国是穷国办大教育，而且是世界上最大规模的教育，人民群众不断增长的教育需求同教育供给特别是优质教育供给不足的矛盾，学校与学生之间关于培养质量和学费的矛盾是现阶段教育发展面临的基本矛盾。教育投入严重不足，教育基础设施和教师队伍的水平都远远不能适应教育现代化的要求。过低的学费使学校财力不足而无法保证质量，过高的学费又会使很多学生无力支付，很多适合接受高等教育的经济困难的学生虽然能通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金，但由于学校资助体系的不完善，仍然有相当一部分贫困学生将无力支付昂贵的学费。为了平衡双方利益又不违背中国国情，我们必须收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，建立数学模型，得到让矛盾双方都较为满意的学费收取标准。最后，我们根据模型建立及分析得到的结果，给有关部门写一份建议报告，给出具体的意见。在此，我们给出相关的名词解释。1、国家生均拨款：各高等学校的经常性拨款数按照标准学生人数、生均拨款标准、各调控参数等指标数综合计算，一般各高等学校的国家生均拨款是不变的。具体各高校的国家生均拨款见（附录一）2、生均成本（培养费用）：发改委、财政部、教育部在调研基础上确定：教职工工资、福利、社会保障费、助学金、公务费(办公开支)、业务费、修缮费、业务招待费、其他等9项为总支出,用总支出除以学生总数等于生均培养成本。一般的成本核算办法为：将教学、教辅人员的工资性费用，教学业务费用，学生事务费用以及固定资产建设费、折旧费等相加，然后平摊到学生头上。具体按照现在的日常运行成本粗略计算，得到各学科类的生均成本为：单位：（万元）（图表-1）3、收益期望：本科毕业生在毕业时间1～2年内所能达到的工资标准。专业类别理工科文科医学艺术培养费用1．51.2～1.3410以上3二、模型假设及符号说明一、模型假设1、高校培养质量与培养费用正相关，培养质量直接决定学生的个人预期收益。2、该模型仅考虑三类本科院校。3、不同类高校的专业收费差别不大，专业不同、学校不同导致的预期收益不同。4、近几年各高校的学费和国家生均拨款是不变的。5、本科毕业后三年内的工薪收入为衡量预期收益的主要指标。二、符号说明ijE：i类学校j专业的预期收益jX：j专业的计算学费即最优学费'jX：由居民收入观察得到的80％部分的人支付得起的学费if：i类学校对学生满意度影响的权向量'if：i类学校在所选学校中所占的权重1W：由二八原则法确定的不需要依赖资助体系的学生对于学生满意度的贡献2W：由二八原则法确定的需要依赖资助体系的学生对于学生满意度的贡献iK：i类学校资助体系的完善程度)(ijXF：i类高校j专业的培养费用)(iGE：国家对i类学校生均拨款的期望iS：i类学校得到的社会基金jx：学j专业的不同学校的学生对该专业的加权满意度jh：jx归一化后的满意度4'jx：各学校对j专业的加权满意度'jh：'jx归一化后的满意度A：三类高校对学生满意度影响的比较矩阵B：计算A得到的满意度影响的权向量M：偏好系数三、问题分析及模型建立高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，我国普通高等学校学费问题已经成为社会关注的热点问题。学费标准的高低是学校和学生都非常关注的问题，对学校而言，校方希望能提高学费标准，有更多的经费来保证高等教育的培养质量。对学生而言，特别是对贫困学生，高的学费，又会影响学习效果，进而影响到高等教育的培养质量，而培养质量是高等教育的一个核心指标。从高素质人才培养及和谐社会建设的大局出发，我们构建实现学生、学校双赢的双目标规划模型。我们考虑一下几个方面的因素。一、学生对专业的满意度：1、不需要依赖学校资助体系的学生，他们的满意度将更注重学校培养质量，学校培养质量直接影响学生的预期收益，这部分学生的满意度由ijjiXE表示。这相当于购买商品时，性价比越高，顾客越满意；2、需要依赖学校资助体系的贫困生，他们的满意度包括学校资助体系的完善程度及学校的培养质量，不同类型的高校学校资助体系的完善程度是不同的，这部分学生的满意程度用ijijiXEK*表示。3、从社会层面看，按事情的“重要程度”编排事务优先次序的准则是建立在“重要的少数与琐碎的多数”的原理的基础上。如80%的销售额是源自20%的顾客；80%的电话是来自20%的朋友；80%的总产量来自20%的产品；80%的财富集中在20%的人手中；20%的客户为企业带来80%的利润，所以整体学生的满意度80％来自20％的需要资助的学生，居民家庭基本情况见附录。整体学生满意度是符合二八原则法的，因某个专业学费的定价能直接影响20％的贫困生的就读选择，即这少部分的贫困生在学生满意度里占重要比例，于是由该原理得出：8.02.021==WW、。至此，我们得到i学校中学生关于专业j学费的满意度：521***WXEKWXEijijiijjiij+=x4、学生对于同一专业的满意度不同。学校越好，学生对该学校的该专业的满意度相应较高，根据比较哪个高校对学生满意度的影响更重要，我们构造这三类学校关于“影响”这一准则层的比较矩阵：A＝⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛121312121321由MATLAB编程（见附录）求出这三类高校在对满意度的“影响”这一准则层的权向量),,(321fff，权向量的一致性检验将在模型检验里详细讨论。从而学生对于各学校j专业的加权满意度：∑∑=iiijjff*xx二、学校对专业的满意度：1、对一所学校而言：国家生均拨款和社会基金一定，其满意度由)('ijijijXFX=x表示，而)(ijXF＝jX＋)(iGE＋iS。在培养费用投入一定的条件下，学费越高，学校的满意度越大。由此，我们得到学校i对专业j的满意度：)('ijijijXFX=x＝iijjSGEXX++)(2、对不同类别的学校而言：对同一专业的满意度又是不一样的。而从宏观上看，各类学校对同一个专业的学费收取近似相等。于是我们根据i级学校在所选代表学校里占的比重，确定各类学校对整体学校满意度的贡献'if。从而，我们得到所有学校对j专业的加权满意度：∑∑=''''*iiijjffxx三、归一化处理：据上面分析，我们需要将所有学生对同一专业的加权满意度和所有学校对该专业的加权满意度进行。为了计算，首先基本度量单位要同一，故应对两满意度6进行归一化：)(')'(''jjjjjjjjxxxhxxxh+=+=。四、模型建立：通过上述分析假设在一个固定专业的基础上我们得到了学生对此专业的满意度设为jh，与不同类学校对此专业的满意度'jh。由于这两个满意度之间存在此消彼长的关系，以及对整个社会而言这两个满意度之和达到最大，社会将会得到最佳满意度。于是，建立目标函数：':jjMaxhh+但是此模型存在一定的缺陷即可能出现某一方单纯的一方满意度达最大，而如果两者之间差距很大则必然引起社会的不满所以，在上述基础上若1h与2h的差越小则越好，由此建立目标函数：':jjMinhh-由上述分析可得此模型是一个关于jh与'jh双目标函数五、约束条件1）、由于高校中培养每个学生所需的成本一定，所以，学校对学生的培养费用主要来自于学费，国家生均拨款，社会资助。所以可得以下关系式：学费＋国家生均拨款＋生均社会资助=生均培养费用即：jX+∑∑==3131*iiiiiffG+∑∑==3131*iiiiiffS≥)(ijXF2）、从社会角度考虑学校的收费不能超过人均家庭可支配的家庭收入，否则将会引起社会矛盾，所以学费＝人均家庭可支配收入即：jX≤'jX7四、模型求解一、求解学生加权满意度关于学费的表达式：由问题分析与模型建立可知：一)、i类学校中学生关于专业j学费的满意度：21***WXEKWXEijijiijjiij+=x二)、学生对于各学校j专业的加权满意度：∑∑=iiijjff*xx对上述两个计算公式，根据学校类别与收益期望进行定量分析得出学生加权满意度与学费之间的关系。如下分析：1、设三类等级高校的收益期望为11E（“211工程”大学）、21E（“211工程”以外的一类本科）、31E（二类本科）。学校的声誉对起薪的影响很显著,如在其他条件相同的情况下,“211工程”高校的毕业生,月薪平均要比一般院校多400元左右。其实,不同类别、层次的高校毕业生工资标准不同,是市场的正常反应。但对同一专业j而言，其各自的本科毕业1～2年的学生的收益期望是一定的。2、根据高校声誉、培养质量、国家生均拨款和社会对高校的资助等因素，我们可以初步设三类学校学生资助体系的完善程度为2.05.09.0321===KKK、、。取的值不同，满意度也会有所改变，而这关系到国家对该类高等院校的财政投入，如生均拨款和社会对该类院校学生的补助资金等，我们将在模型评价中做具体分析。3、用MATLAB编程求出上述判断矩阵A的权向量B=()T1634.0,2970.0,5396.0。4、由于我们只能找到下面图标－2中ijE所在的范围，于是在实际问题中，当我们无法区分在区间[a,b]内取值的随机变量X取不同值的可能性有何不同时,我们就可以假定X服从[a,b]上的均匀分布。若选j为材料专业时，11E＝2500、21E＝2250、31E＝2000。计算其他专业时，通用此法。8理工科相关专业j收益期望文科类相关专业收益期望材料2000~2500金融类3000～4000计算机2500～3200工商管理1500～2000电气工程2000～3000语言类1500～2000交通1800～3000新闻类1800～2500机械制造3000~4000哲学类1500～2000艺术类相关专业收益期望医学类相关专业收益期望播音2500～3500护理学2130～2800表演1500～2200临床医学2200～2750美术3000～4000药理学2130～2000摄影2000～3000预防医学2300～2800环境艺术2200～3300口腔医学1900～2500（图表－2）5、代入数据计算jx＝（j1x，j2x，j3x）×B＝（211111***WXEKWXEijjjj+，2222122***WXEKWXEjjjj+，233133***WXEKWXEijjjj+）×()T1634.0,2970.0,5396.0，结果为关于学费jX的函数。二、学校加权满意度的求解：由问题分析与模型建立可知：一）、我们得到学校i对专业j的满意度)('ijijijXFX=x＝ii