误差理论与数据处理第二章

随机误差系统误差粗大误差测量结果数据处理实例第2章误差的基本性质与处理合肥工业大学误差理论与数据处理随机误差产生的原因1正态分布2算术平均值3测量的标准差4第一节随机误差测量的极限误差5不等精度测量6一、随机误差产生的原因随机误差：不能确定大小和方向的误差，但整体而言，却具有统计规律性。原因：暂时未能掌握或不便掌握的微小因素。①测量装置方面的因素②环境方面的因素③人为方面的因素一、随机误差产生的原因二、正态分布对称性单峰性有界性抵偿性正态分布误差概率密度曲线和直方图０δ二、正态分布①对称性②单峰性δ=0时,③有界性随机误差δ出现在一个有限的区间内，即[-kσ,+kσ]的可能性较大。④补偿性随着测量次数的增加，。0)(f)()(ff)0()(maxff)0()(ff0lim1nniin二、正态分布oiiLldeF)2(2221)(0)(dfEdf)(2254)(||df326745.0令为随机误差，满足正态分布，则标准差（或均方根误差）：σ数学期望：方差：平均误差：或然误差：反映随机误差分布的中心位置反映随机误差相对于中心的分散程度二、正态分布σ值为曲线上拐点A的横坐标，θ值为曲线右半部面积重心B的横坐标，ρ值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。三、算术平均值(一)定义niinlnnlllx1211(二)算术平均值的意义由得即oiiLlonnnLlll)(2121nioiniinLl11nnlLniiniio110lim1nniin01Lnlxnii算术平均值可以作为被测量真值的估计值nillloii,,2,1xxii0010111)(xlnllnnllnllnlxniinioiniionii(三)残差(四)算术平均值的简便求法选一个接近所有测得值的数作为参考值ol三、算术平均值理论值例2-1测量某物理量10次，得到结果见表，求。0l64.187901.065.187900xlxil64.187901.065.1879x序号123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.0101.01niiv01.0101010iilxilivx选参考值=1879.65，三、算术平均值（五）算术平均值的计算校核规则1:残差代数和校核为非凑整的准确数，为凑整的非准确数，01niivxAnvnii21Anvnii)5.02(1xxxnxvniinii11规则２:残差代数和绝对值校核n为偶数，n为奇数，A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。常用三、算术平均值例2-3测量某直径11次，得到结果如表2-2所示，求算术平均值并进行校核。序号(mm)(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.00374.22000111iil003.0111iiv22表三、算术平均值①计算算术平均值②校核规则１：规则２：mmmmxnmmlii737.22000067.20001174.22000111mmmmmmxlviiii003.0737.2200074.2200011111111mmAnmmvmmAnii005.05.02003.0001.0,55.02115.02111mmmmmmlxii067.20000673.20001174.2200011111计算正确x三、算术平均值（一）单次测量标准差σ精度评定指标之一１.σ的意义:反映了随机误差分布的分散性σ值愈小，高而陡，误差分布范围小，测量精度高。σ值愈大，低而平坦，误差分布范围大，测量精度低。测量结果＝被测量估计值（或）＋估计值的精度评定ilx)(f)(f四、测量标准差（方均根误差）２.σ的计算根据随机变量标准差的定义，得δi未知时Bessel公式更准确条件：n5四、测量标准差（方均根误差）推导过程：0Llii0022011LxxlLxxlLxxlnnxLx)(0令，则xnnxxvvv2211nixiniixxniiniinvvnv1221212122xniiniinv11nnvnniiniiniix111212122122nnnnjijiniiniix当n适当大时，可以认为趋近于零niji1nvniiniinii121212niivn122212nvi四、测量标准差（方均根误差）3.σ的其他计算公式别捷尔斯法（Peters公式)由残差绝对值之和求σnnvniii1221niiniivnn12121111nnvniiniiniiniivnnn11)1(1)1(253.1253.12nnvi四、测量标准差（方均根误差）mmmm0330.011010250.0253.1)(mmli)(mmvimmx045.750101iiv序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.0012252101200825.0mmvii)(2mmvi32表四、测量标准差（方均根误差）极差法1）极差ωn2）σ的计算若等精度多次测量测得值服从正态分布，则nxxx,,,21minmaxxxnnndE)()(nndEnndn2345678910111213141516171819201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74nd42表四、测量标准差（方均根误差）mmmmmmlln09.000.7509.75minmaxmmmmdn0292.008.309.010例2-5仍用表2-3的测量数据，用极差法求得标准差。解：08.310d四、测量标准差（方均根误差）最大误差法：当各个独立测量值服从正态分布时，已知真值：未知真值：max||1inKmax||1invKnK1nK1n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44nK1四、测量标准差（方均根误差）mmvi045.0max57.0110KmmmmKvi0256.0045.057.010max例2-6仍用表2-3的测量数据，按最大误差法求标准差，则有而故标准差为四、测量标准差（方均根误差）例2-7某激光管发出的激光波长经检定为，由于某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来又用更精确的方法测得激光波长，试求原检定波长的标准差。解：后测得的波长是用更精确的方法，故认为其测得值为实际波长(或约定真值)，则原检定波长的随机误差为：故标准差为：m63299130.0m63299144.0mmm8101463299144.063299130.025.111KmmK7811075.1101425.1四、测量标准差（方均根误差）四种计算方法的优缺点①贝塞尔公式:最常用，适用于测量次数较多的情况，计算精度较高，但较麻烦。对重要的测量或多种结果矛盾时，以贝塞尔公式为准。②别捷尔斯公式：最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍。③极差法：简单、迅速，当n10时可用来计算σ，此时计算精度高于贝氏公式。④最大误差法：更为简捷，n很小时，有一定精度。尤其适用于一次实验。四、测量标准差（方均根误差）（二）测量列算术平均值标准差x算术平均值精度评定标准测量结果=xixl1.的计算)(1)(1)(2lDnlnDnxDnx22nx)()()()()()()(1)(2121221lDlDlDlDlDlDlDnxDnlllxnnn四、测量标准差（方均根误差）2.的意义xn愈大，越小，说明的精度越高；为提高测量精度，可以增大n；n的选取要适当。xxσ一定时，当n10以后，的减小很慢。此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因此一般情况下取n=10以内较为适宜。总之，提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。x四、测量标准差（方均根误差）0,045.751niivmmx例2-8用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08。求算术平均值及其标准差。解：本例题中的测量数据与表2-3中的测量数据一样，表中的算术平均值为，根据上述各个误差计算公式可得：mmmmnvnii0303.011000825.0112mmmmnx0096.0100303.0四、测量标准差（方均根误差）（一）极限误差定义指在一定的观测条件下，测量误差不应超出的范围极限值。若测量误差落在范围内的概率为Ｐ，超出该范围的概率为１－Ｐ，则为置信概率Ｐ的极限误差。],[limlimxxxlim（二）单次测量的极限误差以正态分布为例，随机误差落在（-δ,+δ）之间的概率：dedfp22221)(五、测量的极限误差（容许误差）将上式进行变量置换，设经变换，上式成为：超出的概率为确定极限误差的步骤：Ｐtddtt,)(2222102222tdtedteptttttdtettt02221)(标准正态分布，其值可由标准正态分布表（附录表１）查得)(21t置信概率)(tt五、测量的极限误差（容