2015高中数学-1.4.1-单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-课件-(北师大版必修4)

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义问题引航1.单位圆中是如何定义正、余弦函数的？正、余弦函数的定义域是什么？2.正、余弦函数在各个象限的符号如何确定？3.任意角的三角函数的定义是什么？1.单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数vu全体实数全体实数2.正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号简记：一全正、二正弦、四余弦.3.任意角的正弦函数、余弦函数(1)前提：设角α的顶点是坐标系的原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α终边上任一点Q(x,y).(2)结论：OQ的长度为且sinα=___，cosα=___.22rxy,yrxr4.任意角的正、余弦三角函数(1)前提：用x表示自变量，即x_______的大小，用y表示函数值.(2)结论：任意角的正、余弦三角函数可以表示为y=sinx和y=cosx，它们的定义域为_________.表示角全体实数1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sinα,cosα中可以将“α”与“sin”，“cos”分开.()(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.()(3)角α终边上有一点P(1，1)，故cosα==1.()11【解析】(1)错误.符号sinα,cosα是一个整体，不能分开.(2)正确.终边相同的角的同一三角函数值相等.(3)错误.P(1,1),x=1,y=1,故cosα=答案：(1)×(2)√(3)×r2，12.222.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知角α终边经过点则角α的最小正值是______.(2)角α的终边经过点P(m,4)，且cosα=则m=_______.(3)角α满足sinα0,cosα0,则α在第______象限.3,1，35－，【解析】(1)所以α的最小正值为答案：(2)r=因为cosα=解得m=3(舍去)，m=-3.答案：-322y1r312sin,r2，.662m16，2mm3,r5m16－(3)当sinα0时,α在第一、二象限及y轴正半轴，当cosα0时，α在第二、三象限及x轴负半轴，故sinα0,cosα0时，α在第二象限.答案：二【要点探究】知识点正、余弦函数的定义1.对任意角的三角函数的定义的两点说明(1)任意角的三角函数y=sinx，y=cosx都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数.可从以下两个方面理解：①角(弧度数)实数.②对于每一个确定的角x，其终边位置是唯一确定的，与单位圆的交点P(u，v)也是唯一确定的，因此角x的正弦(或余弦)函数值是唯一确定的.一一对应(2)任意角的三角函数的概念与锐角三角函数的概念的实质是一样的.锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角的三角函数是锐角三角函数的推广.2.对正弦、余弦函数在各象限的符号的两点说明(1)根据正弦、余弦函数的定义可知，正弦、余弦函数在各象限的符号是由该角终边上任意一点的坐标的符号确定的.横坐标的正负确定余弦函数的符号，纵坐标的正负确定正弦函数的符号.(2)判断符号，可直接应用角所在的象限进行判断.【微思考】的大小与点P在角的终边上的位置有关吗？提示：无关，只与角的大小有关.hs,rr【即时练】当角α=0时，sinα=______；若角α=-3，则sinα的符号为______(填“正”或“负”).【解析】当角α=0时，sinα=0；若角α=-3，则角α是第三象限角，所以sinα＜0.答案：0负【题型示范】类型一任意角的正弦函数、余弦函数【典例1】(1)(2014·石家庄高一检测)已知角α与单位圆的一个交点坐标是则cosα等于()(2)已知角α的终边经过点P(－2,－4)，求角α的正、余弦函数值.1(a,)2－，313A.B.C.D.222－－不确定【解题探究】1.题(1)中的值是多少?2.题(2)中角α是第几象限角？【探究提示】1.2.因为点P(－2,－4)在第三象限，所以角α的终边落在第三象限，即角α是第三象限角.221a()2－221a()1.2－【自主解答】(1)选D.因为所以故cosα=(2)因为点P(－2,－4)在角α的终边上，故u1=－2，v1=－4，可知r=OP=所以sinα=cosα=221a()12，3a.23.2222425.－－1v425r525－－；1u25.r525－－【延伸探究】题(1)中的条件不变，求sinα的值.【解析】因为角α与单位圆的一个交点坐标是所以sinα=1(a,)2－，1.2【方法技巧】利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.方法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a,b)，则对应角的正弦值余弦值22bsinab，22acos.ab(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.【变式训练】已知角α的终边经过点P(2，-3)，则cosα的值是()【解析】选C.角α的终边经过点P(2，-3)，故由三角函数的定义知故选C．33213213A.B.C.D.221313－OP13；213cos13，【补偿训练】(2013·西安高一检测)已知角α为第二象限的角.P(a,4)为α终边上一点，且sinα=则sinα+cosα的值为_________.【解题指南】先求出a的值，然后求cosα即可.45，【解析】|OP|=r=由sinα=得所以a=±3.又α为第二象限的角,所以a=-3,所以cosα=所以sinα+cosα=答案：22a4，452244,5a42233,5a4431.55515类型二三角函数值的符号的应用【典例2】(1)(2014·西安高一检测)已知角α是第二象限角，则点P(sinα,cosα)在第______象限.(2)确定下列各式的符号.①cos200°.②sin160°+cos(-40°).③sin210°·cos260°.【解题探究】1.题(1)中角α的正、余弦值的符号如何？2.题(2)中角－40°,160°,200°,210°,260°的终边分别落在第几象限？【探究提示】1.第二象限角的正弦为正，余弦为负.2.角－40°的终边在第四象限，角160°的终边在第二象限，角200°,210°,260°的终边都在第三象限.【自主解答】(1)因为角α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以点P的坐标符号是(+,－)，所以点P在第四象限.答案：四(2)①200°为第三象限的角，所以cos200°＜0.②160°为第二象限的角，所以sin160°＞0.-40°为第四象限的角，所以cos(-40°)＞0,所以sin160°+cos(-40°)＞0.③210°为第三象限的角，sin210°＜0,260°为第三象限的角，所以cos260°＜0,所以sin210°·cos260°＞0.【方法技巧】正弦、余弦函数值的正负规律【变式训练】确定下列各式的符号.(1)sin2014°.(2)(3)sin4·cos4.【解题指南】先确定各角所在的象限，然后判断符号.11cos.6【解析】(1)2014°=360°×5+214°,所以2014°为第三象限的角,所以sin2014°＜0.(2)为第四象限的角,所以cos＞0.(3)4∈所以4rad为第三象限的角.所以cos4＜0，sin4＜0.所以sin4·cos4＞0.1161163()2，，【补偿训练】sin(－140°)cos740°的值()A.大于0B.等于0C.小于0D.不确定【解析】选C.－140°是第三象限角，所以sin(－140°)＜0，740°=2×360°+20°，所以740°是第一象限角，所以cos740°＞0，所以sin(－140°)cos740°＜0.【易错误区】处理三角函数问题时忽视参数的符号致误【典例】(2014·泰安高一检测)已知角α的终边经过点P(－3m,m)(m≠0)，则sinα=_________.【解析】由题意得：|OP|=当m＞0时，|OP|=则sinα=当m＜0时，|OP|=则sinα=答案：或223mm10m－，10m10m，m10.1010m10m10m－，m10.1010m－－10101010－【常见误区】错解错因剖析忽略了对阴影处参数m的取值符号的讨论，而得到错误结果忽略了对阴影处参数m的取值符号的讨论，同时记错正弦定义式，而得到错误结果.101031010【防范措施】1.准确理解定义要从定义的内涵和外延准确把握定义，同时对三角函数的定义的形式要准确记忆，如和不能混淆.2.分类讨论的意识在化简过程中，对字母参数要注意分类讨论，做到不重不漏，如本例中对字母参数m的讨论.ysinrxcosr【类题试解】已知角α的终边过点P(-3a，4a)(a≠0)，则cosα=________.【解析】由题意可得：|OP|=当a＞0时，|OP|=5a，则当a＜0时，|OP|=-5a，则答案：或223a4a5a.3a3cos.5a53a3cos.5a53535