误差理论与数据处理6版(第2章误差的基本性质与处理1)-机械工业出版社-费业泰

第2章误差的基本性质与处理本章分别详细阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。特别是在随机误差的数据处理中，分别掌握等精度测量和不等精度测量的不同数据处理方法。通过学习本章内容，应能够根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。教学目标当对同一测量值进行多次等精度(相同测量条件,相同仪器,相同测量方法)的重复测量时，得到一系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统计规律。随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成，主要有以下几方面：①测量装置方面的因素②环境方面的因素③人为方面的因素零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。第一节随机误差一、随机误差产生的原因随机误差的分布可以是正态分布，也有在非正态分布，而多数随机误差都服从正态分布。我们首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。设被测量值的真值为，一系列测得值为，则测量列的随机误差可表示为：(2-1)式中。正态分布N(0,σ2)的分布密度与分布函数为(2-2)(2-3)式中：σ——标准差（或均方根误差）e——自然对数的底，基值为2.7182……。它的数学期望为(2-4)它的方差为：(2-5)0Lili0Lliini,,2,1)2/(2221)(ef)(f)(FdeF)2(2221)(0)(dfEdf)(22第一节随机误差二、正态分布222)(21)(xexf547979.0)(||df326745.05.0)(df第一节随机误差平均误差定义为nn||||||21对于连续型随机变量df)(||则符合正态分布N(0,σ2)的平均误差或然误差(几率误差)ρ，指测量误差落在±ρ以内和落在±ρ以外的概率相等.则符合正态分布N(0,σ2)的或然误差图为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。σ值为曲线上拐点A的横坐标,θ值为曲线右半部面积重心B的横坐标,ρ值的纵坐标线则平分曲线右半部面积.符合正态分布的随机误差具有如下特征：①绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性；②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性；③虽然函数f(δ)的存在区间是[-∞,+∞]，但实际上,随机误差δ只是出现在一个有限的区间内，即[-kσ,+kσ],称为误差的有界性；④随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零：这称为误差的补偿性。0lim1nniin服从正态分布的随机误差都具有的四个特征：对称性、单峰性、有界性、补偿性。由于多数随机误差都服从正态分布，因此正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。第一节随机误差对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。(一)算术平均值的意义设为n次测量所得的值，则算术平均值为:(2-8)niinlnnlllx1211nlll,,,21第一节随机误差三、算术平均值下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。即由前面正态分布随机误差的第四特征可知，因此由此可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值被认为是最接近于真值的理论依据.但由于实际上都是有限次测量，因此，只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。oiiLlonnnLlll)(2121nioiniinLl11nnlLniiniio110lim1nniin01Lnlxnii第一节随机误差一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按δi=li-L0求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差：(2-9)若测量次数和数据位数较多,按定义计算算术平均值较为繁琐.此时可用更简便算法来求算术平均值。任选一个接近所有测得值的数作为参考值，计算每个测得值与的差值：(2-10)式中的为简单数值，很容易计算，因此按（2-10）求算术平均值比较简单。xlii0lnillloii,,2,10lil0010111)(xlnllnnllnllnlxniinioiniionii0x第一节随机误差例2-1测量某物理量10次，得到结果见表2-1，求算术平均值。解：任选参考值=1879.65，计算差值和列于表很容易求得算术平均值＝1879.64.（二）算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和来校核。由，式中的是根据（2-8）计算的，当求得的为未经凑整的准确数时，则有：(2-11)残余误差代数和为零这一性质，可用来校核算术平均值及其残余误差计算的正确性。但当实际得到的为经过凑整的非准确数，存在0lil0xxxliininiiixnlv11xxniiv10il64.187901.065.1879＝x序号123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.0101.01niiv01.0101010iilxiliv12－表第一节随机误差舍入误差Δ，即有：成立。而nlxnii1nininiiiinnlnlv111)(经分析证明，用残余误差代数和校核算术平均值的规则为：残差代数和绝对值应符合当n为偶数时，当n为奇数时，Anvnii21Anvnii)5.02(1式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。x例2-2用例2-1数据对计算结果进行校核。（一）标准偏差(均方根误差)σ第一节随机误差四、测量的标准差]2exp[)2(1)(22f由于σ值反映了测量值或随机误差的散布程度，因此σ值可作为随机误差的评定尺度。σ值愈大，函数f(δ)曲线低而平坦；σ值愈小，f(δ)曲线高而陡(形态高瘦)，即测量到的精密度愈高，如图。标准差σ不是测量列中任何一个具体测量值的随机误差，σ的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差δ，一般都不等于σ，但却认为这一系列测量列中所有测得值都属于同样一个标准差σ的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差也不相同。等精度测量列中,单次测量标准差按下式计算(2-12)即是数理统计中标准差的定义目前世界各国大多趋于采用σ作为评定随机误差的尺度。这是因为：①σ的平方恰好是随机变量的数字特征之一（方差）,σ本身又是f(δ)的一个参数，故采用σ正好符合概率论原理，又与最小二乘法最切合;②σ对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测量列的精度；③极限误差与标准偏差的关系简单3Lim④公式推导和计算比较简单。五、标准偏差的几种计算方法1贝塞尔(Bessel)公式0Llii0022011LxxlLxxlLxxlnnxLx)(0xlvii称为算术平均值误差，将它和代入上式，则有xnnxxvvv2211(2-13)(2-14)一般情况下真值未知,无法用式(2-12)计算标准差将上式对应相加得：，即(2-15)若将式(2-14)平方后再相加得：(2-16)将式(2-15)平方有：当n适当大时,可认为趋近于零(δiδj有正负),将其代入式(2-16)得：(2-17)由于(2-12)，代入式(2-17)得：，即(2-18)xniiniinv11nnvnniiniiniix111nixiniixxniiniinvvnv1221212122212122122nnnnjijiniiniixniji1nvniiniinii121212212nniiniivn122212nvi第一节随机误差根据残差求标准差2、别捷尔斯(Peters)法由贝赛尔公式得：进一步得：则平均误差有：由式(2-6)得：故有：(2-26)此式称为别捷尔斯（Peters）公式，它可由残余误差的绝对值之和求出单次测量的标准差，而算术平均值的标准差为:(2-27)nnvniii1221niiniivnn12121111nnvniiniiniiniivnnn11)1(1253.17979.01)1(||253.1nnviivx第一节随机误差近似为计算精度低无平方项计算速度快待后推导1253.11nnvniix例2-5用别捷尔斯法求得表2-3的标准差。解：计算得到的值分别填于表中，因此有3、极差法用贝赛尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需要先求出算术平均值，再求残余误差，然后进行其他运算，计算过程比较复杂。当要求简便迅速mmmmmmmmx0104.011010250.0253.10330.011010250.0253.1第一节随机误差算出标准差时，可用极差法。若等精度多次测量测得值服从正态分布，在其中选取最大值与最小值，则两者之差称为极差：(2-28)根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为(2-29)因故可得的无偏估计值，若仍以表示，则有(2-30)式中的数值见表2-4。nxxx,,,21maxxminxminmaxxxnnndE)()(nndEnndndn2345678910111213141516171819201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74nd42表第一节随机误差例2-6仍用表2-3数据,用极差法求得标准差.4、最大误差法在某些情况下,我们可知道被测量的真值或满足规定精度的用来代替真值使用的量值（称为实际值或约定值）,故能够算出随机误差δi，取其中绝对值最大的一个值，当各个独立测量值服从正态分布时，则可求得关系式：(2-31)一般情况下，被测量的真值为未知，不能按（2-31）式求标准差，应按最大残余误差进行计算，其关系式为：(2-32)式（2-31）和（2-32）中两系数、的倒数见表2-5。08.309.000.7509.7510minmaxdmmmmmmllnmmmmdn0292.008.309.010max||1inKmaximax||ivmax||1invKnKnK第一节随机误差解：最大误差法简单、迅速、方便，且容易掌握，因而有广泛用途。当时，最大误差法具有一定精度。例2-7仍用表2-3的测量数据，按最大误差法求标准差，则有，而故标准差为10nmmvi045.0max57.0110KmmmmKvi0256.0045.057.010maxn