2019年中考复习学案三角形全等

8、三角形全等一、【知识点梳理】知识点：三角形全等的性质与判定1、全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．(3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.2、三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三边对应相等）SAS（两边和它们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.3、全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.二、【近几年真题再现】1、（2016泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°2、（2010泰安）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；3．（2015）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；4．（2014年泰安）如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；三、【考点训练】考点一：全等三角形的性质及判定常规题目1．在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°．求证：△AEF≌△BCF．【解答】证明：∵AD⊥BC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠BFC=∠ADB=90°，∴∠C+∠CBF=90°，∠C+∠EAF=90°，∴∠CBF=∠EAF，∵∠AFB=90°，∠BAC=45°，∴∠ABF=∠BAF=45°，∴AF=BF，在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（ASA）．【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理，三角形内角和定理，垂直定义的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．2．如图：已知∠DAE=∠CBE，EA=EB，求证：△ABD≌△BAC．（你能用一次全等就证出来吗？）【分析】由EA=EB可求得∠EAB=∠EBA，结合条件证明△ABD≌△BAC．【解答】证明：∵EA=EB，∴∠EAB=∠EBA，∵∠DAE=∠CBE，∴∠DAB=∠CBA，在△ABD和△BAC中∴△ABD≌△BAC（ASA）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．3．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC．【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF=DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现．根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC．【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°．在△BDF与△CDE中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（AAS）．∴DF=DE，∴AD是∠BAC的平分线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键．4．已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=BF．【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可；（2）推出∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CBE，根据ASA证出△AEB≌△CEB，推出AE=CE即可．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD=CD．∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA．在Rt△DFB和Rt△DAC中，，∴Rt△DFB≌Rt△DAC（AAS），∴BF=AC．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．在Rt△BEA和Rt△BEC中，，∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．∴CE=AE=AC，又∵BF=AC，∴CE=BF．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB，题目综合性比较强．5．如图一，∠ACB=90°，点D在AC上，DE⊥AB垂足为E，交BC的延长线于F，DE=EB，EG=EB，（1）求证：AG=DF；（2）过点G作GH⊥AD，垂足为H，与DE的延长线交于点M，如图二，找出图中与AB相等的线段，并证明．【分析】（1）根据已知条件得到DE=EB=EB，∠EGD=∠EGD=∠EDB=∠EBD=45°，进而证得∠AGD=∠FDB=135°，根据三角形内角和证得∠A=∠F，由三角形外角定理证得∠ADG=∠FBD，根据三角形的判定证得△ADG≌△FDB，由全等三角形的判定即可证得结论；（2）根据已知条件得到△AED≌△FEB，由全等三角形的性质得到AE=EM，即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE=EB，EG=EB，DE⊥AB，∴DE=EB=EG，∴∠EGD=∠EDG=∠EDB=∠EBD=45°，∴∠AGD=∠FDB=135°，∵∠ACB=90°，∠AED=90°，∠ADE=∠FDC，∴∠A=∠F，∴∠ADG=∠FBD，在△ADG和△FDB中∴△ADG≌△FDB，∴AG=DF；（2）∵DE=EB，EG=EB，∴DE=EB=EG，∵DE⊥AB，在△AED和△FEB中，∴△AED≌△MEB，∴AE=EM，∴AE+EB=EM+DE，即AB=DM．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．考点二：旋转全等模型6．如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB=∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS）．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．7．如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：△ABC≌△AED．【分析】根据SAS只要证明∠BAC=∠EAD即可解决问题；【解答】证明∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠EAD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．8．如图，△ABC与△ADE为等边三角形，连接BD、CE．求证：△ABD≌△ACE．【分析】直接利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出答案．【解答】证明：∵△ABC与△ADE为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC≌△DEC．【分析】由∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，可求得∠DCE=∠ACB，且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°，可求得∠DEC=∠ABC，再结合条件可证明△ABC≌△DEC．【解答】证明：∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，∴∠DCE+∠ECA=∠ECA+∠ACB，∴∠DCE=∠ACB，且∠B+∠CEA=180°，又∠DEC+∠CEA=180°，∴∠B=∠DEC，在△ABC和△DEC中∴△ABC≌△DEC（ASA）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．10．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC，延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．【分析】（1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；（2）根据“边角边”证明即可．【解答】证明：（1）在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等的关键，也是本题的难点．考点三：一线三等角问题（相似专题再研究一下这个专题）11.（2016年泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°12．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在△ABC的三边上，且∠B=∠1，BD=CF．求证：△EBD≌△DCF．【分析】根据全等三角形的判定证明即可．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠EDC是△EBD的外角，∴∠EDC=∠BED+∠B，即∠1+∠FDC=∠BED+∠B，∵∠B=∠1，∴∠FDC=∠BED，在△EBD和△DCF中∴△EBD≌△DCF（AAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．考点四：与等边三角形有关的旋转全等模型13．如图，在等边△ABC中，点D为边BC的中点，以AD为边作等边△ADE，连接BE．求证：BE=BD．【分析】根据等边三角形的性质可得∠CAD=∠DAB=∠CAB=30°，AD=AE，∠DAE=60°，再求出∠DAB=∠EAB，然后利用“边角边”证明△ADB与△AEB全等，最后根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：∵在等边△ABC中，点D为边BC的中点，∴∠CAD=∠DAB=∠CAB=30°，∵△ADE为等边三角形，∴