2020年中考数学考点聚焦(七)《三角形的全等、相似及特殊四边形》

三角形的全等、相似及特殊四边形考点聚焦三角形全等【例1】在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.(1)若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小；(用含α的式子表示)(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．解：(1)∠AMQ＝45°＋α；理由：∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°－α，∵QH⊥AP，∴∠AHM＝90°，∴∠AMQ＝180°－∠AHM－∠PAB＝45°＋α(2)PQ＝MB；理由：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示．∵AC⊥QP，CQ＝CP，∴∠QAC＝∠PAC＝α，∴∠QAM＝45°＋α＝∠AMQ，∴AP＝AQ＝QM，在△APC和△QME中，∠ACP＝∠QEM，∠PAC＝∠MQE，AP＝QM，∴△APC≌△QME(AAS)，∴PC＝ME，∵△MEB是等腰直角三角形，∴12PQ＝22MB，∴PQ＝2MB【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练证明三角形全等是解决问题的关键．[对应训练]1．(1)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.①求证：△AEC≌△BED；②若∠1＝42°，求∠BDE的度数．解：①证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE.在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∠A＝∠B，AE＝BE，∠AEC＝∠BED，∴△AEC≌△BED(ASA)②∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°，∴∠BDE＝∠C＝69°(2)(导学号：65244065)(2017·齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．①求证：DE＝DF，DE⊥DF；②连接EF，若AC＝10，求EF的长．解：①证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDG和△ADC中，BD＝AD，∠BDG＝∠ADC，DG＝DC，∴△BDG≌△ADC，∴BG＝AC，∠BGD＝∠C，∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点，∴DE＝12BG＝EG，DF＝12AC＝AF，∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD，∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE⊥DF②解：∵AC＝10，∴DE＝DF＝5，由勾股定理得EF＝DE2＋DF2＝52三角形相似【例2】△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．解：(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，∵BE＝CE，∠B＝∠C，BP＝CQ，∴△BPE≌△CQE(SAS)(2)解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE＝BECQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝32，∴BC＝62【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意数形结合思想的应用．[对应训练]2．(1)已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．(一)如图①，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.①求证：BE＝CF；②求证：BE2＝BC·CE.(二)如图②，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．解：(一)①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠ABG＋∠CBF＝90°，∵∠AGB＝90°，∴∠ABG＋∠BAG＝90°，∴∠BAG＝∠CBF，∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF②∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点，∴MG＝MA＝MB，∴∠GAM＝∠AGM，又∵∠CGE＝∠AGM，∠GAM＝∠CBG，∴∠CGE＝∠CBG，又∠ECG＝∠GCB，∴△CGE∽△CBG，∴CECG＝CGCB，即CG2＝BC·CE，由∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF得CF＝CG，由①知BE＝CF，∴BE＝CG，∴BE2＝BC·CE(二)延长AE，DC交于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠N＝∠EAB，又∵∠CEN＝∠BEA，∴△CEN∽△BEA，∴CEBE＝CNBA，即BE·CN＝AB·CE，∵AB＝BC，BE2＝BC·CE，∴CN＝BE，∵AB∥DN，∴CNAM＝CGGM＝CFBM，∵AM＝MB，∴FC＝CN＝BE，不妨设正方形的边长为1，BE＝x，由BE2＝BC·CE可得x2＝1·(1－x)，解得x1＝5－12，x2＝－5－12(舍)，∴BEBC＝5－12，则tan∠CBF＝FCBC＝BEBC＝5－12(2)如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于点E，交AC于点F.(一)如图①，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE；(二)如图②，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.证明：(一)在Rt△ABE和Rt△DBE中，BA＝BD，BE＝BE，∴△ABE≌△DBE(二)①如图2，过点G作GH∥AD交BC于点H，∵AG＝BG，∴BH＝DH，∵BD＝4DC，设DC＝1，BD＝4，∴BH＝DH＝2，∵GH∥AD，∴GMMC＝HDDC＝21，∴GM＝2MC②过点C作CN⊥AC交AD的延长线于点N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴AGNC＝GMMC，由①知GM＝2MC，∴2NC＝AG，∵∠BAC＝∠AEB＝90°，∴∠ABF＝∠CAN＝90°－∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴AFCN＝ABAC，∵AB＝2AG，∴AFCN＝2AGAC，∴2CN·AG＝AF·AC，∴AG2＝AF·AC特殊四边形【例3】如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G.(1)求证：△CDE≌△CBF；(2)当DE＝12时，求CG的长；(3)连接AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．解：(1)如图，在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠CBF＝180°－∠ABC＝90°，∠1＋∠2＝∠DCB＝90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∴∠3＋∠2＝∠ECF＝90°，∴∠1＝∠3，在△CDE和△CBF中，∠D＝∠CBF，DC＝BC，∠1＝∠3，，∴△CDE≌△CBF(2)在正方形ABCD中，AD∥BC，∴△GBF∽△EAF，∴BGAE＝BFAF，由(1)知，△CDE≌△CBF，∴BF＝DE＝12，∵正方形的边长为1，∴AF＝AB＋BF＝32，AE＝AD－DE＝12，∴BG12＝1232，∴BG＝16，∴CG＝BC－BG＝56(3)不能，理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE＝CG，∴AD－AE＝BC－CG，∴DE＝BG，由(1)知，△CDE≌△CBF，∴DE＝BF，CE＝CF，∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，∴∠GFB＝45°，∠CFE＝45°，∴∠CFA＝∠GFB＋∠CFE＝90°，此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定，解(1)的关键是判定∠DCE＝∠BCF，解(2)的关键是判断出△GBF∽△EAF，解(3)的关键是判断出∠CFA＝90°.[对应训练]3．正方形ABCD的边长为6cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于点F，过点M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.(1)如图①，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；(2)如图②，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以2cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts.①设BF＝ycm，求y关于t的函数解析式；②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∵MN⊥AF，∴∠AHM＝90°，∴∠BAF＋∠MAH＝∠MAH＋∠AMH＝90°，∴∠BAF＝∠AMH，在△AMN与△ABF中，∠AMN＝∠BAF，AM＝BA，∠MAN＝∠ABF，∴△AMN≌△BAF，∴AF＝MN(2)①∵AB＝AD＝6，∴BD＝62，由题意得DM＝t，BE＝2t，∴AM＝6－t，DE＝62－2t，∵AD∥BC，∴△ADE∽△FBE，∴ADBF＝DEBE，即6y＝62－2t2t，∴y＝6t6－t②∵BN＝2AN，∴AN＝2，BN＝4，由(1)证得∠BAF＝∠AMN，∵∠ABF＝∠MAN＝90°，∴△ABF∽△MAN，∴AMAB＝ANBF，即6－t6＝2BF，∴BF＝126－t，由①求得BF＝6t6－t，∴6t6－t＝126－t，∴t＝2，∴BF＝3，∴FN＝BF2＋BN2＝5cm