误差理论与数据处理第二章1

BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院1/75第二章误差的基本性质与处理本章的目的：(重点掌握）1、研究三种误差的性质，出现的规律与产生原因2、找出相应减少误差的方法3、综合分析问题BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院2/752-1随机误差一．定义：同一量值进行多次等精度的测量时，得到一系列不同的测量值，每个测量值都含有误差，而误差出现又没有确定规律，但就误差的总体而言，却具有统计规律性。注：影响因素包括环境、人员、测试装置等BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院3/75二．随机误差特征(服从正态分布)：1对称性－绝对值相等正、负误差出现次数相等。2单峰性－绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多。3有限性－在一定测量条件下，随机误差不会超过一定界限。4抵偿性－随测量次数增加，随机误差算术平均值趋于零。(特征1的推理)具有以上性质的误差分布规律，一般称正态分布规律，或反之。BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院4/75正态分布曲线)(f分布密度随机误差BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院5/75随机误差的正态分布大多数随机误差服从正态分布，其应用范围包括各种物理、机械、电气、化学等特性分布例如：铝合金板抗拉强度，电容器电容变化、噪声发声器输出电压正态分布描述：密度函数、分布函数、数学期望、方差、平均误差和或然误差表示BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院6/75三．随机误差的数字特征1.定义：用于描述随机误差分布特征的数值。2.随机误差的数字特征主要有：a)算术平均值、b)均方根偏差(标准差)算术平均值－表示随机误差的分布中心，可作为等精度多次测量结果。均方根偏差－分散性指标，描述测量数和测量结果的精度。分散度反映单次测量值的不可靠性，作为不可靠程度的评价标准，平均值一定，可能其标准差不同。BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院7/75(一)算术平均值1随机误差的表示方法设被测量真值L0(理想、理论)，一系列测量值为l0，则测量值中随机误差δi为(i=1,2,3…，n)2算术平均值定义设为n次测量所得结果，则算术平均值定义为：niinlnnlllx12110Lliixnlll,,,21BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院8/753与之关系对n个求和，有=同除以nniiniiniinxnlnL111011101111Llnnniinii011nLlniiniix0Li02121nLlllnnBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院9/75说明：(1)n=1,δ1=-L0=l1-L0即为随机误差定义(2)n=2，(3)n→∞时，由随机误差的特征(抵偿性)有即：如能对同一量测无限次时，就可得到不受随机误差影响的测量值，或影响甚微，可忽略。011niinx0Lx02121LxBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院10/75理论上讲，n→∞时，算术平均值定义为数学期望(最大或然值)(理想状态下得到真值的理论依据)(4)对有限次测量时,但n较大0Lxn0LxBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院11/754残余误差表示由于L0是未知，一般不能用，可用有限测量的算术平均值进行上式分析即：li－－第i个测量值－－li的残余误差0Lxxlvii),,3,2,1(niiv0LliiBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院12/75说明：(1)一组测量值残差之和为零，即(精确值)证明如下：由定义，当为未凑整(即不用数字舍入规则)时，由定义(准确数)01niiv01niivniiniixnlv11xlnnii11xBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院13/75应用：可用上式检验及残差计算的正确性(校核)如对于凑整(即利用舍入规则时)，成为非准确数假如有舍入误差即代入残差和公式中：xxniilnx11nlnnlxnlvniiniiniinii)1(1111BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院14/75(2)残余误差代数和满足以下条件(残差和性质)：残差代数和校核残差及的统一规则为：a)当，求得为非凑整的准确数时，。b)当，求得为凑整的非准确数时，为正，其大小为求时的余数。c)当，求得为凑整的非准确数时，为负，其大小为求时的亏数(不足)。xxnlnii1xxnlnii1xnlnii1xxniiv10niiv1xniiv1xBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院15/75如：1.372=1.37+0.002(0.002为余数)1.368=1.37-0.002(0.002为亏数)(3)残余误差代数和绝对值满足：(残差和性质)当n为偶数时，当n为奇数时，这里：A－实际求得的算术平均值末位数的一个单位。如：则：Anvnii21Anvnii)5.02(1x28.39x01.0ABEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院16/75(4)一组测量值残余误差的平方和为最小(重要）导出：=最小求和：若最小，必有：niiv12xlvii2222xxllviii2112122xnlxlvniiniiniiniiv12iiiilnnlxxnlxdvd1022)(2BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院17/75分析表明：如不取，而用其他值代替真值，则相应偏差的平方和一定要比残差平方和大。从另一角度说明了较其他值更可信赖。x0LxBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院18/75(二)标准差(均方根误差，均方根偏差，标准偏差)1.引例：算术平均值虽可表示一组测得值结果，但无法表示这组测得值的精度。如：以下两组测量值。Ⅰ组：20.0005,19.9996,20.0003,19.9994,20.0002Ⅱ组：19.9990,20.0006,19.9995,20.0015,19.9994两组平均值=20.0000显然：两组精度不同，Ⅱ分散性Ⅰ组，Ⅰ精度Ⅱ如何评价两组测量精度？－－标准差BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院19/752.标准差定义(标准偏差简称标准差)这里－标准差n－测量次数(应充分大)说明：(1)(2)与测量值具有相同误差(3)评定测得值的精度(4)－方差222211nn0niin1221BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院20/753标准差与残差的关系实际求解中无法得求到，常用来分析。－算术平均值的误差0LliixlviixiiiiiiLxvxlvLl00xBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院21/75则：(1)对(1)求和(2)xiivniininiiixnixiniinvnnv1111111BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院22/75若：对式(2)式直接平方，有：当n适当大时，认为：212112222xniinininixixiinvnvv211222122211nnnnjijiniiniix01njijiBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院23/75又：代入：nininiiiinnv11122221niin12212122niivnBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院24/75说明：(1)以上分析用于单组(mi=1)即单次测量的定义公式2221Bessel1iinnv1122nvniiBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院25/75(2)正态分布下，与分布密度和分布函数的关系式为：a)分布密度(概率密度)定义：(连续函数）b)分布函数(对于连续函数而言)相应数学期望(平均值)：（代入）方差：f)(F22221efdeF222210fEdfD22BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院26/75(3)对于相同，但不同的正态分布曲线。愈小，分布愈陡峭，=随机误差分散性小，即精度高。愈大，分布曲线的形状平坦，分散性较大，精度较低321x１２３BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院27/754标准差与算术平均值标准差关系(多组重复测量)对于多组次测量的测量列中，是以每次的算术平均值评价可靠性的。如在相同条件下，对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列都有算术平均值，而各个不同，必造成围绕真值有一定分散，即不可靠性。1)用算术平均值的标准差表征作为算术平均值不可靠性的评定标准。ixixxBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院28/752)由取方差方差性质：又n次等精度niilnx11nnlDlDlDnxD221121yDxDyxDxDccxD2221nlDlDlDnnnx22221BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院29/75结论：①在n次测量的等精度列中，算术平均值标准差为单次测量标准差的越高,越低→接近真值→精度愈高②显然，n↑的方法可以提高精度，但n10以后，减小非常缓慢，一般多次测量选经济。n1nxx10nBEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院30/75(三)测量精度的其他指标除Bessel公式外，还可以用以下描述方法制定精度。1平均误差niinnn1211BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院31/75说明：(1)当δ为连续型随机变量，则可按积分计算，即设代入dedef02222222221dd,2222547979.02BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学机电学院32/75(2)对于单次离散分布(3)对于多次组重复测量离散分布1545412nvniinnTx5454BEIJINGUNIVERSITYOFTECHNOLOGY北京工业大学