用空间向量求点到面的距离

No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引用空间向量求点到面的距离No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引一、求点到平面的距离一般方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。OdPNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引向量法求点到平面的距离AOdnPsin||APnAPnd||APnn其中为斜向量，为法向量。nAPsindAPsin||APdNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________．解析：d＝|PA→·n||n|＝|1×－2＋2×－2＋－4×1|－22＋－22＋12＝103.答案：103No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引[例1]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，∴EF＝(1，－2,1)，EG＝(2，－1，－1)，GA＝(0，－1,0).设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，则n·EF＝0，n·EG＝0，∴x－2y＋z＝0，2x－y－z＝0，∴x＝y＝z.可取n＝(1,1,1)，∴d＝|GA·n||n|＝13＝33，即点A到平面EFG的距离为33.如图,建立空间直角坐标系，求向量求法向量代入公式解：建系No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离；No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E1，12，0，F12，1，0，EF→＝－12，12，0，PE→＝1，12，－1，设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，则n·EF→＝0，且n·PE→＝0，所以－12x＋12y＝0，x＋12y－z＝0.解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2,2,3)，所以点D到平面PEF的距离为d＝|DE→·n||n|＝|2＋1|4＋4＋9＝31717，因此，点D到平面PEF的距离为31717.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引用向量方法求点到平面的距离时：1、建坐标系—建立恰当的空间直角坐标系2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量3、求法向量—求出平面的一个法向量4、代入公式—通过公式代入求解．APd||APnnNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引练考题、验能力、轻巧夺冠No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引[题后感悟]用向量法求点面距的方法与步骤No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值.如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为n,且AP与n不共线,能否用AP与n表示d?如何利用空间向量求点到平面的距离：分析:过P作PO⊥于O,连结OA.则d=|PO|=||cos.PAAPO∵PO⊥,,n∴PO∥n.∴cos∠APO=|cos,PAn|.∴d=|PA||cos,PAn|=||||PAnn.nAPO利用向量点到平面的距离