第2章部分习题参考解答

2.1已知半径为的导体球面上分布着面电荷密度为a0cosSSρρθ=的电荷，式中的0Sρ为常数。试计算球面上的总电荷量。解：球面上的总电荷量等于面电荷密度沿ra=的球面上的积分，即0002π2π2ππ20000dcosdcossindddsin2d02SSrSSSSqSSaaρρθρρθθθφφθθ====∫∫∫∫∫∫G=2.2已知半径为、长度为的圆柱体内分布着轴对称的电荷，体电荷密度为aL0(0)rraaρρ=≤≤，式中的0ρ为常数，试求圆柱体内的总电荷量。解：圆柱体内的总电荷量等于体电荷密度对半径为a、长度为的圆柱体的体积分，即L23r2π00000002π2πddddC33aaLVrLLaqVrrzaaρρρρφ====∫∫∫∫2.3电荷q均匀分布在半径为的导体球面上，当导体球以角速度aω绕通过球心的z轴旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。解：导体球面上的面电荷密度为24πSqaρ=，设以球心为坐标原点，球面上任意一点的位置矢量为，当导体球以角速度rrea=GGω绕通过球心的z轴旋转时，该点的线速度为sinzrvreeaeaφωωω=×=×=GGGGGGθ，则得导体球面上的面电流密度为sinA/m4πSSqJveaφωρθ==GGG2.4宽度为5c的无限薄导电平面置于m0z=平面内，若有10电流沿从原点朝向点的方向流动，如图题2.4所示。试写出面电流密度的表示式。A(2cm,3cm,0)POyxz(2cm,3cm,0)P图题2.4解：面电流流动方向的单位矢量为n2211(23)(23)1323xyxyeeee=+=+e+GGGGG面电流密度的大小为210200A/m510SJ−==×G故得面电流密度矢量表示式为200(23)A/m13SxyJee=+GGG2.5一个半径为的球形体积内均匀分布着总电荷量为的电荷，当球体以均匀角速度aqω绕一条直径旋转时，试计算球内的电流密度。解：球体内的电荷体密度为34π/3qaρ=，设以球心为坐标原点，旋转轴为轴，则球体内任意一点的位置矢量为zPrrer=GG，故该点的线速度为sinzrvreererφωωω=×=×=GGGGGGθ因此，所求的电流密度矢量为2333sinsinA/m4π/34πqqJvereraaφφωρωθθ===GGGG2.6平行板真空二极管两极板间的电荷体密度为42330049Udxρε−−=−，阴极板位于处，阳极板位于0x=xd=处，极间电压为；如果0U040VU=，，横截面，求：(1)至1cmd=210cmS=0x=xd=区域的总电荷量；(2)/2xd=至xd=区域的总电荷量。解：(1)142113310000044dd4.7210C93dVqVUdxSxUSdρεε−−−⎛⎞==−=−=−×⎜⎟⎝⎠∫∫(2)242332003/244dd1932dVdqVUdxSxUdρε−−⎛⎞⎛⎞==−=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫∫001Sε129.710C−=−×2.7在真空中，点电荷位于点10.3μCq=−(25,30,15)A−；点电荷位于点。求：(1)坐标原点处的电场强度；(2)点处的电场强度。20.5μCq=(10,8,12)B−(15,20,50)P解：(1)源点的位置矢量及其大小分别为1'253015cxyzreee=−+GGGm，2221'25301541.83cmr=++=2'10812cxyzreee=−++GGGm，2222'1081217.55cmr=++=而场点O的位置矢量，故坐标原点处的电场强度为0Or=G12010233001026223062231(')(')4π''10.310[(253015)104π(41.8310)0.510(10812)10](17.5510)92.4777.6794.37kOxyzxyzxyzqqErrrrrrrreeeeeeeeeεε−−−−−−⎡⎤=−+−⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦−×=−+−××+−−×=−−GGGGGGGGGGGGGGGGGGV/m××(2)场点的位置矢量为P152050cmPxyzreee=++GGGG，故，1'10503Pxyrreee−=−++GGGGG5z8z2'25123Pxyrreee−=++GGGGG则点处的电场强度为P62301623210.310[(105035)104π'0.510(251238)10]'11.940.54912.4kV/mPxyPxyzPxyzEeerreeerreeeε−ze−−−−×=−++−×+++−=−+××GGGGGGGGGGGGGG2.8点电荷位于点处，另一个点电荷1qq=1(,0,0)Pa−12qq=−位于点处，试问：空间是否存在的点？2(,0,0)Pa0E=G解：在空间任意点处产生的电场为1qq=(,,)Pxyz12223/0()4π[()]xyexaeyezqExayzε+++=+++2zGGGG，q在点处产生的电场为(,,)Pxyz22223/0()24π[()]xyexaeyezqExayzε22q=−2z−++=−−++GGGG，故在点处的电场则为(,,)Pxyz12EEE=+GGG。令0E=G，则有2223/22223/2()2[()[()][()]xyzxyexaeyezexaeyezxayzxayz+++−++=+++−++GGGGG]zG由xeG、、三分量相等，得yeGzeG2223/22223/2()[()]2()[()]xaxayzxaxayz+−++=−+++(1)2223/22223/2[()]2[()]yxayzyxayz−++=+++(2)2223/22223/[()]2[()]zxayzxxayz−++=+++2(3)当或时，将式(2)或式(3)代入式(1)，得0y≠0z≠0a=。所以，当或时，无解。0y≠0z≠当且时，由式(1)，有0y=0z=33()()2()()xaxaxaxa+−=−+解得(322)xa=−±，但322xa=−+a不合题意，故仅在(322,0,0)aa−−处电场强度。0E=G2.9无限长线电荷通过点且平行于轴，线电荷密度为(6,8,0)zlρ，试求点处的电场强度(,,)PxyzEG。Oyxz(,,0)Pxy(6,8,0)lρ68RG图题2.9解：线电荷沿方向为无限长，故电场分布与无关。设点位于的平面上，如图题2.9所示，线电荷与点的距离矢量为zzP0z=P(6)(8xyRexey)=−+−GGG，22(6)(8)Rxy=−+−G，22(6)(8(6)(8)xyRexeyReRxy)−+−==−+−GGGGG直接利用无限长直线电荷的电场强度公式02πlEeρρρερ=GG得点处的电场强度为P22000(6)(8)V/m2π(6)(8)2π2πxylllRexeyREexyRRRρρρεεε−+−==⋅=⋅−+−GGGGGGGG2.10半径为a的一个半圆环上均匀分布着线电荷lρ，如图题2.10所示。试求垂直于半圆环所在平面的轴线上za=处的电场强度(0,0,)EaG。Oyxz(0,0,)Paa'rGd'l'φlρdEGrG图题2.10解：如图题2.10所示，场点的位置矢量为(0,0,)Pazrea=GG，电荷元d'd'lllaρρφ=的位置矢量'cos'sinxyreaea'φφ=+GGG，故22'(cos'sin(cos')(sin')2zxyrreaeaeaaaaa2')φφφφ−=−+=++=GGGGG电荷元d'd'lllaρρφ=在轴线上za=处的电场强度为300'dd'4π(2)(cos'sin')d'82πlzxylarrEaeeeaρφεφφρφε−=−+=GGGGGG在半圆环上对上式积分，即得π/2π/200(0,0,)d[(cos'sin')]d82π(2π)V/m82πlzxylxzEaEeeeaeeaρ'φφφερε−==−+−+=∫∫GGGGGGG2.11三根长度均为、线电荷密度分别为L1lρ、2lρ和3lρ的线电荷构成一个等边三角形，如图题2.11所示，设1222ll3lρρρ==，试求三角形中心的电场强度。Oyx1EG2EG3EG1lρ2lρ3lρd图题2.11解：根据题意建立如图题2.11所示的坐标系，三角形中心到各边的距离为3tan3026LdL==D直接利用有限长直线电荷的电场强度公式120(coscos)4πlEρρθθερ=−得111003(cos30cos150)4π2πllyyEeedLρρεε=−=DDGGG2120033(cos30sin30)(3)2π8πllxyxyEeeeeLLρρεε=−+=−+DDGGGGG3130033(cos30sin30)(3)2π8πllxyxyEeeeeLLρρεε=−=−DDGGGGG故等边三角形中心处的电场强度为11112300033(3)(3)2π8π8π34πllyxyxylyEEEEeeeeeLLLeL103lρρρεεερε=++=−++−=GGGGGGGGGG2.12一个很薄的无限大导体带电平面，其上的面电荷密度为Sρ。试证明：垂直于平面的轴上z0zz=处的电场强度中，有一半是由平面上半径为03z的圆内的电荷产生的。Oyxz0(0,0,)Pz'rG'φEGrd'Sd'rPrG图题2.12证：如图题2.12所示，在导体平面上取面积元d''d'd'Srrφ=，其上所带的电荷dd''d'dSSqSrr'ρρ==φ，电荷元d在q0zz=处产生的电场强度为0223/00'd'd''d4π(')SzrrezerEzr2rρφε+=⋅+GGG则整个导体带电面在轴上处的电场强度为z0zz=20223/2000000223/2221/2000000''d'd'4π(')'d'12(')2(')rSzrrrSSzzezerErrzrzzrreezrzrπρφερρεε+=+==−++∫∫∫GGGGG当r时，→∞02SzEeρε=GG，而03r=z时，030221/2000011'2(')42zSSzzzEeezrρρεε=−==+GGGGE2.13自由空间有三个无限大的均匀带电平面：位于点处的平面上，位于点处的平面上，位于点(0处的平面上。试求以下各点的(0,0,4)−123nC/mSρ=(0,0,1)226nC/mSρ=,0,4)328nC/mSρ=−EG：(1)1(2,5,5)P−；(2)；(3)。2(2,4,5)P−3(1,5,2)P−−解：无限大的均匀面电荷产生的电场为均匀场，利用前面的结果得(1)3129100001(368)102222SSSzzzzEeeeeρρρεεεε−=−−+=−+−×GGGG91211056.49V/m28.8510zzee−−=−×=−××GG(2)3129200001(368)1056.49V/m2222SSSzzzzzEeeeeeρρρεεεε−=++=+−×=GGGGG(3)3129300001(368)10960.5V/m2222SSSzzzzzEeeeeeρρρεεεε−=+−=++×=GGGGG2.14在下列条件下，对给定点求divEG的值：(1)，求点222[(2)(2)]V/mxyzEexyzyexzxyexy=−+−+GGGG1(2,3,1)P−处的值。divEG(2)，求点处div的值。22222[2sinsin(2)2sin]V/mzEezezezρφρφρφρφ=++GGGG2(2,110,Pρφ==D1)z=−EG(3)，求点处div的值。[2sincoscoscossin]V/mrEerererθφθφθφφ=+−GGGG(1.5,30Prθ==D,50)φ=DEG解：(1)22div(2)(2)()EExyzyxzxyxxy∂∂∂=∇⋅=−+−+∂∂∂GG2yz23(1)2210=×−−×=−(2)2222211[(2sin)](sin2)(2sin)Ezzzzρρφρφρρρρφ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂Gφ2222222112sin22cos22sin41sin11021cos(2110)22sin1109.06zzφρρφρφρρ=×