数学建模—测量山崖高度

摘要本文针对测量山崖高度这一问题，利用物理、数学等知识建立了三个数学模型，得到精确度较高的结果。模型一，只考虑有重力作用下的自由落体运动，得到高度为78.4m.模型二，在模型一的基础上，考虑的空气的阻力的影响，利用牛顿第二定律，建立的微分方程模型，得到的高度为73.6m。同时分析了模型一与模型二的关系。模型三，在模型二的基础上，再考虑了回声时间这一因素，得到了更为精确的结果为：63.2m.最后，在对模型改进时，考虑了反应时间对高度的影响，发现反应时间对高度有很大的影响，求解后得到了山崖的高度为60.567m。关键词：微分方程积分牛顿第二定律一、问题的重述不用测量工具，只借助于秒表、石块、计算机，尽可能准确地测量出山崖的高度。二、问题分析根据题意，该实际问题不能使用卷尺之类的长度测量工具，通过数学模型来得到尽可能精确的结果。借助石块和秒表来测量山崖的高度，受俩个方面的影响：石块受力和时间。首先，只考虑地球引力作用下的高度，可以通过自由落体公式得到。但是这个结果显然很粗糙，为了进一步提高精度，再考虑上空气阻力的影响，得到比上一个精确的结果。其次在时间方面，回声所用的时间也会造成测量结果的误差，所以，在第二模型的基础上，在考虑回声所有的时间，可以得到一个更为精确的结果。除了回声所用时间，在听到回声，按下计时器的时候，人会有一个反应时间，最后，在第三个模型的基础上，在考虑计时的反应时间，得到最终的结果。三、符号说明和假设1、符号说明表示山崖的高度（）表示听到石块落地的时间（）表示声音传播速度，取值为340（）重力加速度，取值为9.8（）空气阻力系数石块下落的速度（）石块质量（）2、模型假设（1）不计测量者的反应时间，即计时反应时间为0；（2）山崖的近乎垂直；（3）石块的初始速度为0。四、模型建立模型求解模型结果分析模型一在不计空气阻力和回声，只考虑地球引力的作用，直接利用自由落体运动公式[1]：（1）就可以得到结果，如果时间，那么，得到这个结果是很粗糙的，出了地球引力之外，对石块下落影响最大的就是空气阻力，为了使结果进一步的精确，考虑空气阻力的作用，建立第二个模型。模型二根据流体力学知识，此时可设空气的阻力正比于石块下落的速度，设阻力系数为常数，石块下落的即时速度为，因而，有牛顿第二定律可得[2]：（2）两边同时除以，并令，两边积分，得到（3）考虑到石块的初始速度为，得到所以，石块的下落速度为：（4）两边同时在积分一次，就可以得打了山崖的高度，（5）考虑当时间时，，得到：所以，山崖的高度为：（6）如果仍然设网上搜索空气阻力系数[3]，并结合本问题，设，则山崖的高度这个结果显然比第一个模型中的要精确，同时也可以看到，在式（6）中，考虑到的泰勒展开式（7）将式（7）代式（6）中，得到（8）并，得到：（10）这是模型一，即模型一是模型二的特殊情况。影响山崖高度的另外一个因素就是时间：石块落地声音回传的时间和记时的反应时间。下面在模型二的基础上考虑声音回传时间的模型。模型三在模型二的基础上，设石块下落的真正时间为，声音传回来的时间为，得到模型如下：（11）模型三是一个非线性方程组，一共有三个未知数，三个方程，应该有唯一解，下面对其求解方法进行说明。现对于石块的下落速度，声音的传播速度要快得多，所以，先用模型二计算出山崖的高度，令，校正，石块的下落时间为，再来计算山崖的高度直到保持不变。具体算法步骤如下Step1初始变量：，利用模型二式（6），计算Step2计算声音传播时间：利用step1中的，计算出声音的近似传播时间；Step3计算石块的下落时间：下落时间的近似值为：；Step4计算山崖的高度：山崖的近似高度为：Step5如果step1中的与step4中的有变化，重复step1、step2、step3、step4，直到没有变化为止。利用Matlab编写程序[4]（见附录A）求得迭代次数与的关系如下表1.和图1.表1迭代次数与山崖高度的关系次数123456789高度73.800065.902466.689266.610666.618566.617766.617866.617866.6178图1迭代次数与山崖高度的关系从表1.和图1.中可以看出，当迭代次数为7次时，山崖的高度不再发生变化，故而山崖的高度。五、模型优缺点、改进方向5.1模型的改进一对于该问题，还有一个改进山崖高度的方面，那就是考虑测量人的反应时间，这个时间可以从多次测量去平均值的方法得到，也可以通过网上搜索得到，这里采用网上的结果[5]，反应时间为：，从新考虑模型三，那么从石块开始下落，到秒表停止，仍然设秒表显示的时间为4秒，那么得到新的模型为：123456789101165666768697071727374迭代次数山崖高度（m）求解方法与模型三相同，Matlab程序见附录B，这时得到的结果：表2考虑反应时间的山崖高度与迭代次数的关系次数123456789高度73.800059.309660.687260.555660.568160.566960.567060.567060.5670图2考虑反应时间的山崖高度与迭代次数的关系对比模型三和此处的结果可以看出，反应时间对山崖的高度影响还是很大的。5.2模型的改进二对于反应时间问题，由于引人而异，且受人的当时状态的影响，所以准确的反应时间对于能否准确测量出山崖的高度有很大的影响，为此，还是不要借助网上的结果，而是对测量者多次测其反应时间，取平均值的方法更为合理。六、参考文献[1]邓法金.大学物理（第二版）[M].北京:科学出版社,2004[2]吴赣昌.高等数学[M].北京：中国人民大学出版社,2008[3][4]周建兴,岂兴明,矫津毅.matlab教程[M].北京:北京航空航天大学出版社,2010[5]迭代次数N山崖的高度H（m）七、附录附录A：模型三程序t=4;k=0.05;g=9.8;N=10;h(1)=73.8;fori=1:Nt2=h(i)/340;t1=t-t2;h(i+1)=g/k*t1+g/k^2*exp(-k*t1)-g/k^2;endplot([1:N+1],h,'k-*')h附录B模型优缺点、改进方向的程序t=4;t0=0.2k=0.05;g=9.8;N=10;h(1)=73.8;fori=1:Nt2=h(i)/340;t1=t-t0-t2;h(i+1)=g/k*t1+g/k^2*exp(-k*t1)-g/k^2;endplot([1:N+1],h,'k-*')h