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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 高考数学(理)一轮复习第25讲《三角函数的模型及应用》
第25讲三角函数的模型及应用1.(2012·粤西北九校联考)如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A、B两点的距离为()A.502mB.503mC.252mD.2522mA解析:在△ABC中,由正弦定理得ACsin30°=ABsin45°,所以AB=502(m).2.在200m高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为()A.4003mB.40033mC.20033mD.2003mA解析:画出示意图(如图),由题意可知,∠DAC=60°,∠OAC=∠DAB=30°,在△AOC中,AO=200,所以OC=20033,而AD=OC=20033,在△ABD中,BD=20033×33=2003,因此塔高为200-2003=4003(m),故选A.3.(2013·临沂二模)已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A船到灯塔C的距离为2km,B船在灯塔C北偏西40°处,A、B两船间的距离为3km,则B船到灯塔C的距离为km.解析:由题意知,∠ACB=80°+40°=120°,AC=2,AB=3.设B船到灯塔C的距离为x,即BC=x,由余弦定理可知AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°,即9=4+x2-2×2x×(-12),整理得x2+2x-5=0,解得x=-1-6(舍去)或x=-1+6.4.有一长为100米的斜坡,它的倾斜角为45°,现要把倾斜角改为30°,则坡底需伸长米.解析:坡的倾斜角即为坡度,依题意知,该坡的高度不变,即仍为502,当坡的倾斜角变为30°时,坡底的长度为506,所以坡度改后,坡底伸长了50(6-2)米.一解三角形的实际应用题【例1】(2012·山东滨州高三期中联考)如图,正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙,同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号,此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70km的C处,渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处,两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援,渔政船乙仍留在B处执行任务,渔政船甲航行30km到达D处时,收到新的指令另有重要任务必须执行,于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙),此时B、D两处相距42km,问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.解析:设∠ABD=α.在△ABD中,AD=30,BD=42,∠BAD=60°,由正弦定理得:ADsinα=BDsin∠BAD,则sinα=ADBDsin∠BAD=3042sin60°=5314,又因为AD<BD,所以0°α60°,cosα=1-sin2α=1114.cos∠BDC=cos(60°+α)=-17,在△BDC中,由余弦定理得:BC2=DC2+BD2-2DC·BDcos∠BDC=402+422-80×42cos(60°+α)=3844,所以BC=62(km).答:渔政船乙要航行62km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.【拓展演练1】如图,为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如图所示),飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.解析:①需要测量的数据有:A点到M,N点的俯角分别为α1,β1;B点到M,N点的俯角分别为α2,β2;A,B的距离d.②第一步:计算AM.由正弦定理得AM=dsinα2sinα1+α2;第二步:计算AN.由正弦定理得AN=dsinβ2sinβ2-β1;第三步:计算MN.由余弦定理得MN=AM2+AN2-2AM·ANcosα1-β1.二三角函数的实际应用题【例2】如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A0,ω0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,23);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.(1)求A,ω的值和M,P两点间的距离;(2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?解析:(1)依题意,有A=23,T4=3.又T=2πω,所以ω=π6.所以y=23sinπ6x.当x=4时,y=23sin2π3=3,所以M(4,3).又P(8,0),所以MP=42+32=5.(2)在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5.连接MP,设∠PMN=θ,则0°θ60°.由正弦定理得MPsin120°=NPsinθ=MNsin60°-θ.所以NP=1033sinθ,MN=1033sin(60°-θ),故NP+MN=1033sinθ+1033sin(60°-θ)=1033(12sinθ+32cosθ)=1033sin(θ+60°).因为0°θ60°,所以,当θ=30°时,折线段赛道MNP最长.亦即将∠PMN设计为30°时,折线段赛道MNP最长.【拓展演练2】以一年为一周期调查某商品的出厂价格和它的市场销售价格时发现:信息1:该商品出厂价格是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的.已知3月份出厂价格最高,为8元,7月份出厂价格最低,为4元.信息2:该商品市场销售价格是在8元的基础上,按月份也是随正弦曲线波动的.已知5月份销售价格最高,为10元,9月份销售价格最低,为6元.(1)根据上述信息1和2,求该商品的出厂价格y1和销售价格y2与月份x之间的函数关系式;(2)若某经销商每月购进该商品m件,且当月能售完,则在几月份盈利最大?并说明理由.解析:(1)依据信息1、2可知,该商品的出厂价格y1和销售价格y2与月份x之间的关系都满足正弦曲线,故可设y1=A1sin(ω1x+φ1)+B1,y2=A2sin(ω2x+φ2)+B2,依题意,得B1=8+42=6,A1=2,T=2(7-3)=8,所以ω1=2πT=π4.所以y1=2sin(π4x+φ1)+6.将点(3,8)代入函数y1=2sin(π4x+φ1)+6得,φ1=-π4,所以y1=2sin(π4x-π4)+6.同理,可得y2=2sin(π4x-3π4)+8.(2)因为利润函数是y=m(y2-y1)=m[2sin(π4x-3π4)+8-2sin(π4x-π4)-6]=m[2-22sin(π4x)],所以当x=6,即6月份时,利润达到最大.【例3】为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图.要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固,要求AC的长度越短越好,求AC最短为多少米?且当AC最短时,BC的长度为多少米?三解三角形与函数、不等式的综合应用题解析:设BC=a(a>1),AB=c,AC=b,b-c=12,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos60°,将c=b-12代入得:(b-12)2=a2+b2-ab,化简得b(a-1)=a2-14,因为a>1,所以a-1>0,所以b=a2-14a-1=a-12+2a-2+34a-1=(a-1)+34a-1+2≥3+2.当且仅当a-1=34a-1时取“=”号,即a=1+32时,b有最小值2+3,答:AC最短为(2+3)米,此时BC长为(1+32)米.【拓展演练3】如图,有两条相交成60°的直线xx′,yy′,其交点为O,甲、乙两辆汽车分别在xx′、yy′上行驶,起初甲在离O点30km处的A点,乙离O点10km的B点,后来两车均以60km/h的速度行驶,且甲沿xx′方向,乙沿yy′方向行驶.求:(1)起初两车的距离是多少?(2)t小时后两车的距离是多少?(3)何时两车的距离最短?解析:(1)由已知,|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|cos60°=700,故|AB|=107km.(2)设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q,则|AP|=60t,|BQ|=60t.当0≤t≤12时,|PQ|2=(30-60t)2+(10+60t)2-2(30-60t)(10+60t)cos60°;当t12时,|PQ|2=(60t-30)2+(10+60t)2-2(60t-30)(10+60t)cos120°.上面两式可统一为:|PQ|2=10800t2-3600t+700,即|PQ|=10108t2-36t+7.(3)因为|PQ|=10108t2-36t+7=10108t-162+4,故当t=16时,即在第10分钟末时,两车距离最短.1.(2012·湖南卷)在△ABC中,AB=2,AC=3,AB→·BC→=1,则BC=()A.3B.7C.22D.23A解析:由AB→·BC→=1可得2|BC|cos(180°-B)=1,即2|BC|cosB=-1,又由三角形的余弦定理可得32=|BC|2+22-2×2|BC|cosB,把2|BC|cosB=-1代入,得9=|BC|2+4+2,即|BC|=3,故选A.2.(2012·四川卷)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED=()A.31010B.1010C.510D.515B解析:因为|AE|=1,正方形的边长也为1,所以|ED|=|AE|2+|AD|2=2,|EC|=|EA|+|AB|2+|CB|2=5,|CD|=1,所以cos∠CED=|ED|2+|EC|2-|CD|22|ED|·|EC|=31010,sin∠CED=1-cos2∠CED=1010.3.(2013·陕西卷)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定B解析:因为bcosC+ccosB=asinA,由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A,又sinA≠0,所以sinA=1,得A=π2,所以△ABC为直角三角形.4.(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.解析:(1)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,所以AC=2,∠ACB=60°.在Rt△BPC中,∠BPC=90°,PB=12,BC=1,所以PC=32,∠PCB=30°.所以在△APC中,AC=2,PC=32,∠ACP=30°,所以AP2=AC2+PC2-2AC·PC·cos∠ACP=74,所以PA=72.(2)设∠PBA=θ,因为θ+∠PBC=90°,∠PCB+∠PBC=90°,所以∠PCB=θ,又BC=1,所以PC=cosθ.因为∠CAP+∠PAB=∠CAB=30°,θ+∠PAB=180°-∠APB=180°-150°=30°,所以∠CAP=θ.在△APC中,PC=cosθ,AC=2,∠APC=120°,∠CAP=θ,由正弦定理,得PCsin∠CAP=ACsin∠APC,即cosθsinθ=2sin120°,所以tanθ=32×12=34,即tan∠PBA=34.
本文标题:高考数学(理)一轮复习第25讲《三角函数的模型及应用》
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