专题三-微专题2-处理向量问题的“基底法”与“坐标法”

第1页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科专题三三角函数与解三角形特别策划三角函数、平面向量中的核心问题突破第2页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科微专题2处理向量问题的“基底法”与“坐标法”第3页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科目标1基底法(2018·湘潭四模)在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E为CD的中点，则BA→·AE→＝________.[思维引导]根据平面向量的基本定理，使用基底AD→，AB→表示AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋12AB→，再利用向量的数量积定义进行计算．－4第4页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科[规范解答]因为AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋12AB→，所以BA→·AE→＝－AB→·AD→＋12AB→＝－AB→·AD→－12AB→2＝－2×2×cos60°－12×22＝－4.[精要点评]根据平面向量基本定理，平面内任意一个向量均可由两个不共线的向量线性表达，如果是计算数量积，解题中一般是选取可以计算数量积的两个不共线向量为基底表达其他向量．第5页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科(2018·南昌二模)已知在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC＝2，若AC→＝2CE→，则BA→·BE→＝________.－2【解析】在等腰直角三角形ABC中，|BA|＝|BC|＝2，可得BA→·BC→＝0，从而BA→·BE→＝BA→·(BC→＋CE→)＝BA→·12AC→＝12BA→·(BC→－BA→)＝－12BA→2＝－12×4＝－2.第6页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科目标2坐标法(2018·益阳统测)在平行四边形ABCD中，|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，DE→＝2EC→，CF→＝FB→，且AE→·AF→＝7，则平行四边形ABCD的面积的最大值为________．732[思维引导]由|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|可知平行四边形ABCD为矩形，建立坐标系后使用坐标方法得出该矩形的边长满足的等量关系，再根据基本不等式得出最大值．第7页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科[规范解答]因为|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，所以|AC|＝|BD|，平行四边形ABCD为矩形．以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，设B(a,0)，D(0，b)，则C(a，b)．又因为DE→＝2EC→，CF→＝FB→，所以E23a，b，Fa，12b.第8页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科因为AE→·AF→＝7，所以12b2＋23a2＝7.由基本不等式可得2×22b×63a≤12b2＋23a2＝7，所以ab≤732，当且仅当2a＝3b时等号成立．故平行四边形ABCD面积的最大值为732.[精要点评]把向量坐标化后，向量问题就是纯代数计算，给解题带来方便，如果已知的平面图形是直角三角形、正三角形、矩形、菱形等，建系后更容易解决问题．第9页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科(2018·安庆一中)已知等腰梯形ABCD如图(1)所示，其中AB＝8，BC＝4，CD＝4，线段CD上有一个动点E，若EA→·EB→＝－3，则EC→·ED→＝________.(变式(1))－3第10页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科【解析】由题意建立如图(2)所示的平面直角坐标系，则A(－4,0)，B(4,0)，C(2,23)，D(－2，23)．设点E的坐标为(t,23)，－2≤t≤2.由题意得EA→·EB→＝(－4－t，－23)·(4－t，－23)＝(－4－t)(4－t)＋12＝t2－4＝－3，解得t2＝1.又EC→＝(2－t,0)，ED→＝(－2－t,0)，所以EC→·ED→＝t2－4＝－3.(变式(2))第11页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科目标3基底法与坐标法的比较(2018·天津卷)如图(1)，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE→·BE→的最小值为()(例3(1))A.2116B.32C.2516D.3A第12页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科[思维引导]根据共线向量定理，设DE→＝λDC→，0≤λ≤1，建立求解目标关于λ的函数，既可以使用基底法，也可以使用坐标法．[规范解答]方法一：(基底法)如图(2)，连接BD.根据余弦定理可得BD＝3，根据已知条件可得△BCD为正三角形，所以DC＝3.(例3(2))第13页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科设DE→＝λDC→，0≤λ≤1，则AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋λDC→，BE→＝AE→－AB→＝AD→＋λDC→－AB→.所以AE→·BE→＝(AD→＋λDC→)·(AD→＋λDC→－AB→)＝AD→2－AD→·AB→＋λ2DC→2－λDC→·AB→，其中AD→2＝1，AD→·AB→＝－12，DC→2＝3，AB→，DC→所成的角为30°，AB→·DC→＝1×3cos30°＝32，所以AE→·BE→＝3λ2－32λ＋32＝3λ－142＋2116，当λ＝14时，AE→·BE→取最小值且最小值为2116.故选A.第14页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科方法二：(坐标法)建立如图(3)所示的平面直角坐标系，则A0，－12，B32，0，C0，32，D－32，0，(例3(3))第15页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科设E(x，y)，DE→＝λDC→(0≤λ≤1)，则x＋32，y＝λ32，32，即x＋32＝32λ，y＝32λ，据此可得E32λ－32，32λ，从而AE→＝32λ－32，32λ＋12，BE→＝32λ－3，32λ，AE→·BE→＝32λ－32×32λ－3＋32λ＋12×32λ＝3λ2－32λ＋32＝3λ－142＋2116(0≤λ≤1)，结合二次函数的性质可知，当λ＝14时，AE→·BE→取得最小值2116.故选A.[精要点评]同一个向量问题有时既可以使用基底法，也可以使用坐标法，两种方法各有特点，要善于根据题目的具体情况灵活选取方法．第16页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科(2018·华师附中)在△ABC中，∠BAC＝135°，AB＝2，AC＝1，D是BC边上的一点(包括端点)，则AD→·BC→的取值范围是()A．[－3,0]B.－12，2C.[0,2]D.[－3,2]D【解析】方法一：(基底法)因为D是BC边上的一点(包括端点)，所以可设AD→＝λAB→＋(1－λ)AC→，0≤λ≤1.因为BC→＝AC→－AB→，所以AD→·BC→＝(AC→－AB→)·[λAB→＋(1－λ)AC→]＝(1－λ)|AC→|2－λ|AB→|2＋(2λ－1)AB→·AC→.因为∠BAC＝135°，AB＝2，AC＝1，所以AB→·AC→＝－1，所以AD→·BC→＝2－5λ∈[－3,2]．故选D.第17页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科方法二：(坐标法)建立如图所示的直角坐标系，则B(2，0)，C－22，22，设D(x，y)，BD→＝λBC→，0≤λ≤1，则(x－2，y)＝λ－322，22，所以x＝－322λ＋2，y＝22λ.所以AD→·BC→＝－322λ＋2，22λ·－322，22＝5λ－3∈[－3,2]．故选D.(变式)第18页专题三三角函数与解三角形高考总复习二轮提优导学案·数学理科Thankyouforwatching