第3章-平稳随机信号的功率谱-频域统计特性

第三章平稳随机信号的谱分析2本章要解决的问题随机信号是否也可以应用频域分析方法?傅里叶变换能否应用于随机信号？相关函数与功率谱的关系功率谱的应用采样定理白噪声的定义3一、预备知识1.付氏变换设x(t)是时间t的非周期信号，且x(t)满足•在范围内满足狄利赫利条件)(tx),(•绝对可积，即)(txdttx)(•信号的总能量有限，即)(txdttx2)(有限个极值有限个断点断点为有限值3.1随机信号的谱分析4则的傅里叶变换为：)(txdtetxXtjX)()(其反变换为：deXtxtjX)(21)(称为的频谱密度，也简称为频谱。)(tx)(XX包含：振幅谱相位谱()/()jXXe55傅里叶级数与离散频谱周期信号可分为一个或几个、乃至无穷多个谐波的迭加。图3.1.1周期信号的傅立叶级数分解)(txt)(A000203时域)(0频域周期信号的频谱是离散的62020年4月1日6傅里叶变换的性质1、线性叠加性质若，则2、时移性质若，则3、频移性质若，则4、时间伸缩性质设，a为正实数，则5、时间微分性质若，则6、时间积分性质若，且，则7、卷积定理若，，则及)()(11Xtx)()(22Xtx)()()()(22112211XaXatxatxa)()(Xtx0)()(0tjeXttx)()(Xtx)()(00Xetxtj)()(Xtx)(1)(aXaatx)()(Xtx)()(d)(dXjttx)()(Xtx0|)(0X)(1d)(Xjxt)()(11Xtx)()(22Xtx)()()()(2121XXtxtx)()(21)()(2121XXtxtx7常见的傅立叶变换t112tcos000tsin000j0,tetj1te222tje00283.帕塞瓦等式：时域能量=频域能量dtdeXtxdttxtjX)(21)()]([2dtdetxXtjX)()(21dXXXX)()(21*dXX2)(21dXdttxX22)(21)]([即能量谱密度9应用截取函数TtTttxtxT0)()(二、随机信号的功率谱密度10dTTXEdttXETXTTTT2]),([lim21)]([21lim22平均功率Q非负存在dSdttXETQXTTT)(21)]([21lim2（1）功率Q为确定值，不是随机变量)(XS（2）为确定性实函数。注意：22-=();122TTiRdtWPIRpdRTT单位电阻()/()/()jXXXXXXPfPeP11两个结论：)]([2tXEAQ1.21lim.TAT表示时间平均若平稳，时间均方值为：)0()]([)]([22XRtXEtXEAQ＝dSQX)(2121213功率谱密度：描述了随机信号X(t)的功率在各个不同频率上的分布——称为随机信号X(t)的功率谱密度。)(XS)(XS对在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率P。)(XS对于平稳随机信号，有：221()[()]()2XXtEXtSd均方值：信号在某瞬时刻t的平均功率频率谱密度X(ω):描述信号能量在各个不同频率上的分布14随机信号：平稳随机信号的自相关函数功率谱密度。1.维纳—辛钦定理若随机信号X(t)是平稳的，自相关函数R(τ)以及τR(τ)绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：deRSjXX)()(deSRjXX)(21)(我们允许自相关函数和功率谱密度中存在δ函数三、功率谱密度与自相关函数之间的关系确定信号：)()(jXtx信号←→频率谱密度(频谱)15tXXRXStaXXRa2XSa2dttdXXS222dRdXnndttXdXnS2nXnndRd2221tjetX0tjXeR00XSX(t)变换的功率谱密度16例2：平稳随机信号的自相关函数为，A0，，求随机信号的功率谱密度。AeRX)(0解：应将积分按＋和－分成两部分进行deAedeAeSjjX00)(0)(0)()(jeAjeAjjjjA11222A1718例4：设随机信号，其中皆为常数，为具有功率谱密度的平稳随机信号。求过程的功率谱密度。ttaXtY0sin)()(0,a)(tX)(XS)(tY解：)]()([),(tYtYEttRY)](sin)(sin)([00ttaXttaXE2000()[coscos(2)]2XaRtdettRASjYY),()(200020()[coscos(2)]2()cos2jXjXaRAtedaRed)]()([4002XXSSa19例5：设随机信号，其中是概率密度为的随机变量，a和φ为实常数，求X(t)的功率谱密度。tjaetX)(ΩftXtXERX*)(jeEa2defaj2deSRjXX21)(faSX22201.功率谱密度为非负的,即0)(XS3.功率谱密度是的实函数四、平稳随机信号的功率谱密度3.对于实随机信号来说，功率谱密度是的偶函数，即)()(XXSS4.功率谱密度可积，即dSX)(213.2联合平稳随机信号的互谱密度一、互谱密度[X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳]22二、互谱密度的性质性质1：)()()(*YXYXXYSSS性质2：)](Re[)](Re[XYXYSS)](Re[)](Re[YXYXSS性质3：)](Im[)](Im[XYXYSS)](Im[)](Im[YXYXSS性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值和，则XmYm)(2)()(YXYXXYmmSSwSwSwSYXXY2性质6：2324相干函数的工程应用(1)判断系统输出与某特定输入的相关程度。利用相干函数，可发现系统是否还有其它输入干扰、系统的线性程度。(2)谱估计和系统动态特性的测量精度估计。在计算传递函数的幅频特性及相频特性时，辅以相干函数分析，(a)输入信号的功率谱和输出信号的功率谱(b)幅频特性、相频特性和相干函数25总结262728五、相关卷积定理2930例：两个系统如图所示，请推导两输出信号的互相关函数与两输入信号的互相关函数之间的关系。3132333435解：deRSjXYXY)()(deej39dej)3(9j39jSSXYYX39)()(*363.3离散时间随机信号的功率谱密度一、离散时间随机信号的功率谱密度1.平稳随机序列的自相关函数设X(n)为广义平稳的离散时间随机信号，具有零均值，其自相关函数为:)]()([)(mnXnXEmRX373.平稳随机序列的功率谱密度()()jmTXXmSRme奈奎斯特频率时域离散(T)频域周期(其周期ωT由时域离散间隔T决定)ωT=2ωq=2π/T38因为为周期函数，周期为，)(XSq2deSmRjmXqXqq)(21)(0m在时dSRnXEqqXqX)(21)0(])([2时域离散(T)频域周期(其周期ωT=2ωq=2π/T)时域非周期（随机信号）频域连续39();mjXXmSzRmzzedzzzSjmRmDXX1')(21)(性质zSzSXX1)(''40例7：设，求和1,)(aamRmX)('zSX)(XS解：mmmmmmXzazazS01')(azzazaz1)1)(()1(2azazza)1)(1()1(12azaza)()(111zzaaaa将z=代人上式，即可求得jecos2)(11aaaaSX41二确定性信号的采样与插值sin()()()cnctnstsnTtn连续时间确知信号离散时间确知信号()St)(nS采样定理()()StSnT插值(低通滤波)sin()()()cnctnstsnTtnccTT42()()cRRmT三、自相关函数的采样)2(1)(TnSTSnc时域离散(T)，频域则为周期延拓(ωT=2π/T)43443.4白噪声一、理想白噪声自相关函数:01()()2NRN0001)0()()(NNNRRr自相关系数:45总结：（1）白噪声只是理想化模型，是不存在的。（2）白噪声的均方值为无限大)0(2)0()]([02NRtXEN而实际中的随机信号，其均方值总是有限的。（3）白噪声在数学处理上简单、方便46二、色噪声按功率谱密度函数来分类随机信号：白噪声色噪声/有色噪声47小结1.随机信号的时间无限性能量无限，因而随机信号的付氏变换不存在，但其功率存在。即：)()(jXtX×但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即(,)()XXARttS若随机信号X(t)平稳，则)()(XXSR48一般过程：3.随机信号的平均功率：dttXETT))((21lim2即集合平均＋时间平均。4.特定函数的付氏变换需记忆。49总结定义：随机信号：信号在每一时刻的取值为随机变量确定信号：信号在每一时刻的取值为确定常数。随机信号的广义平稳性其均值为常数。其二阶矩(均方值—自相关的特例)是有限值其自协方差函数只与时间间隔τ有关；（若均值为0，则自协方差=自相关，方差=均方值，自相关函数只与时间间隔τ有关）50总结广义平稳、严格平稳、非平稳广义平稳(2阶平稳)；严格平稳(∞阶平稳)。广义平稳×严格平稳；严格平稳广义平稳无广义平稳=非平稳平稳信号的广义遍历性总集均值=时间均值、总集自相关=时间自相关可用一次观测数据求得时间均值、时间自相关。广义平稳×广义遍历；广义遍历广义平稳51总结均方值方差物理意义：均方值：随机信号在时刻t的功率的统计平均值方差：随机信号在时刻t的交流功率的统计平均值52总结自相关函数与自协方差函数之间的关系：53总结功率谱密度与自协方差函数是一组傅里叶变换对。54总结维纳-辛钦定理的条件：零均值自协方差=自相关。55总结56575859