三次函数的性质;单调区间和极值资料

14.3.3三次函数的性质：———单调区间和极值232()(0)Fxaxbxcxda三次函数'()0,()FxFxR(1)若a0,则在上递增(如图1)221.1203,'()bacbacFx若=4即此时没有零点'()0,()FxFxR(2)若a0,则在上递减(如图2)图1()Fx'()FxOyx图2()FxOxy'()Fx2'()32Fxaxbxc的导数是二次函数3221203,'()bacbacFxxw2.若=4即此时有一个零点(1)0,'()0,(),)(3)aFxFx函数在(递增如图(2)0,'()0,(),)()aFxFx函数在(递减如图4Oxy'()FxOxy'()Fx图4()Fx图3()Fx4223.4120,3'()2bacbacFx若即此时有个零点x=u和x=v(uv)(1)0,'()(,)(,),(,)aFxuvv在和上为正在(u,v)上为负.此时F(x)在(-,u)和上递增,在(u,v)上递减.F(x)在x=u处取极大值,在x=v处取极小值(如图5)如图5()Fx'()FxOxy5(2)0,'()(,)(,),(,)aFxuvv在和上为负在(u,v)上为正.此时F(x)在(-,u)和上递减,在(u,v)上递增.F(x)在x=u处取极小值,在x=v处取极大值(如图6)如图6()Fx'()FxOxy6a0a0Δ0Δ≤0Δ0Δ≤0三次函数F(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象：212bac=42'()32Fxaxbxc()Fx有一个极大值和一个极小值()Fx有一个极大值和一个极小值()FxR在上单调递增()FxR在上单调递减7232323227;(2)()3245;(3)()128;(4)()373632.xxgxxxxuxxxhxxxx3例1.指出下列函数的单调区间和极值点。（1）f(x)=x83222.()233812.1,2[0,3],()fxxaxbxcxxabxfxcc例已知函数在及处取得极值（）求的值；（）若对于任意的都有成立，求的取值范围。931.讨论函数f(x)=x+ax+5的增减性。322.已知f(x)=x+ax+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A.-1a2B.-3a6C.a-1或a2D.a-3或a6变式训练:Ｄ33.()_______.fxxaxRa已知函数在上递增，则的取值范围是10三次函数图象与x轴交点问题.3232三次函数f(x)=ax+bx+cx+d(a0)图象的性质揭示了一元三次方程ax+bx+cx+d=0(a0)根的实质由f(x)的图象的性质不难看出:方程实数根的个数即f(x)图象与轴的交点个数.2'()32(0)Fxaxbxca三次函数f(x)的导数1.,.2232若=4b-12ac0即b3ac,则三次函数f(x)无极值图象在R上为单调函数,其图象与x轴有且有一个交点即方程ax+bx+cx+d=0(a0)有且有一个实数根.a0a01122.,x22112若=4b-12ac0即b3ac,则三次函数f(x)有2个极值点x不妨设极大值为f(x),极小值f(x),其图象与x轴交点情况取决于2个极值点与x轴的关系:(1)三次函数f(x)图象与x轴有3个交点,即对应方程有3个实数根.12()0()0fxfx极大值此时极小值a0(1)三次函数f(x)图象与x轴有3个交点,即对应方程有3个实数根.a012(2)三次函数f(x)图象与x轴有2个交点,即对应方程有2个实数根.)012此时极大值f(x)=0或极小值f(xa0图①a0图②a0图③a0图④13(3)三次函数f(x)图象与x轴有1个交点,即对应方程有1个实数根.a0a0图①图④a0图②a0图③12()()0fxfx此时143293()6.2(1),'()2()0.fxxxxaxfxmmfxa例、设函数对任意实数恒成立，求的最大值；（）若方程有且只有一个实根，求的取值范围151.32方程x-6x+9x-4=0的实数根个数是（）A.3B.2C.1D.0B变式训练322.().(1)()2()afxxxxafxayfxx设为实数，函数求的极值；（）当在什么范围内取值时，曲线与轴有且只有一个交点.163.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．3()fxxx()yfx(())Mtft，0a()ab，()yfx()abfa172.32若关于x的方程-x+3x+9x-27+m=0有3个不相等的实数根,求的取值范围.1、已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.(1)求a、b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．作业1832()2338fxxaxbxc1x2x[03]x，2()fxc1.设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．1920已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，若x＝23时，y＝f(x)有极值，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求y＝f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值．(3)函数y＝f(x)－m有三个零点，求实数m的取值范围．21设l为曲线C：y＝lnxx在点(1,0)处的切线．(1)求l的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方．