创新课堂教学理念，突显数学思维能力的培养

1创新课堂教学理念，突显数学思维能力的培养摘要：新的考试大纲对数学思维能力提出了更高的要求，增加应用性和能力型的试题，强调对数学能力的考查．而新教材也确实突出了对数学能力尤其是数学思维能力的培养．本文试图围绕新教材，谈谈在新教材教学中的一些感想，即通过以下方式：采取变式教学，辨伪存真，培养思维的深刻性；运用多种联想，培养思维的灵活性；发展求同存异，培养思维的广阔性；整理知识结构，培养思维的系统性．从而培养学生的数学能力素质．关键词：数学能力变式教学求同存异知识结构考试大纲明确提出，高考要求具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯．考试中将注重对数学思维和方法的考查，增加应用性和能力型的试题．融知识、方法、思维、能力于一体，全面检测考生的数学素质．同时，越来越多的数学教师认为：数学教学内容不应是那些孤立的概念、法则、公式、定理等知识点，而应是存在于不同数学知识间的重要的数学关系，常用的数学思想方法．数学教学要充分展示知识的发生、形成过程，能力的形成过程，真正教人以聪明，授人以才智，既开发人的智力，又培养人的能力．由此可见，提高数学能力素质，对于每一位学生来说，都具有十分重要的意义，特别是新教材，在这方面作了大量的尝试和努力．数学能力主要包括逻辑思维能力、空间想象能力、运算能力、分析和解决问题的能力．而数学思维能力是培养能力的核心．本文试图结合新教材，就如何培养学生数学能力素质谈几点体会．一、采取变式教学，辨伪存真，培养思维的深刻性思维的深刻性，就是撇开事物的表面现象，从本质和联系上理解事物，挖出事物的内涵、外延，揭示事物本质属性．在数学教学中，应发扬变式教学，从不2同方面突出问题的实质，从而培养学生思维的深刻性．在解析几何中，有这样一道常规题目：例1已知直线:2lyx=−与抛物线22yx=相交于,AB两点．求证：.OAOB⊥这是一道比较简单的题目，关键是从本题表象出发，能否揭示与此问题相关的数学思想方法，向深度拓展呢？我首先启发学生用如下方法解决：证法一:求出A、B坐标，由勾股定理222OAOBAB+=，可证1OAOBKK⋅=−．证法二:求出A、B坐标，可证1OAOBKK⋅=−．证法三:联立方程得2640XX−+=，由韦达定理及1OAOBKK⋅=−1212yyxx=可得．接着拓展引申：变式1直线yxb=+与抛物线22yx=相交于,AB两点，b为何值时.OAOB⊥变式2直线yxb=+与抛物线22yx=相交于,AB两点，求线段AB的长．思路①22()()BABAABxxyy=−+−．思路②2121ABKxx=+−．变式3已知直线:2lyx=−与抛物线22yx=相交于,AB，且.OAOB⊥，求线段AB的中点M的轨迹方程．由此可见，从一道简单的“证明垂直”问题出发，既检查和培养了学生“设而不求”的数学思想，“待定糸数法”思想，同时又引发出解析几何中两类重要问题，“弦长”问题和“中点轨迹”问题，巩固了求弦长的方法，课堂容量大．也深刻地揭示了“垂直”、“弦长”、“轨迹”等问题之间的联系．同时，学生学习起来并不困难．学生在一题多解、一题多思、一题多变中掌握了本应由几节课才能解决的问题，课堂气氛也十分活跃，真正减轻了学生负担．此外，在教学过程中，我发现，“辨伪”在教学中的作用十分明显．学生在3正常情况下获得问题的成功，印象并不深刻，而意外的失败及由此引出荒谬的结论，其教训反而令人难以忘却．如：已知,xy满足46,24xyxy≤+≤≤−≤求2xy+的取值范围．若先求出35x≤≤,02y≤≤，则6212xy≤+≤，但2xy+的昀小值和昀大值不可能同时取到．因为(3,0)和(5,2)都不满足题意．从而引出这种解法是错误的，而应该用线性规划的方法解题．通过这样辨伪存真，学生对这种题的解法就会留下更深刻的印象．二、运用多种联想，培养思维的灵活性思维的灵活性是指思维活动的智力灵活程度．它强调根据事物发展的变化情况，及时地提出符合实际的解决问题的假设和新方案．而联想是指从一事物想到另一事物的心理活动．常有类比联想、归纳联想、关系联想等．学会联想，是培养思维灵活性的重要方法．例如立体几何中线面角，有时面的垂线很难找到；求二面角，若找到二面角的平面角，则要在两个半平面内各找一条直线垂直于棱，且要相交于一点，工作量较大．而如果联想到线面角、二面角都是平面角；联想到线面角与斜线和面的垂线的夹角关系，二面角的平面角与这两个半平面的法向量的夹角关系时，这两类角就都可以转化为向量问题了．从而得到直线AB与平面α所成角．设nv是平面α的一个法向量，若,ABnuuuvv是一个锐角，则直线AB与平面α所成角是,ABnuuuvv的余角，即,2ABnπ−uuuvv；若,ABnuuuvv是一个钝角，则AB与平面α所成角是,2ABnπ−uuuvv．同理，若,αβ是二面角lαβ−−的两个半平面，,mnuvv分别是,αβ的法向量，如果,mnuvv起点都在二面角的面内，方向均指向外部或内部，则二面角大小为,mnπ−uvv；若一个指向内部，一个指向外部，则二面角大小为,mnuvv．例2如图，在正方体1AC中，,EF分别是棱1111,ADAB中点，求1BC与EFBD面所成的角．分析：这道题若用一般的方法，过1C作1COEFBD⊥面，那么垂足在哪里呢?同时，还要证明线4面垂直，且求距离时所需要的边边关系也不容易得到．但是若设垂足为O，则1OC为EFBD面的法向量．以D为原点，建立空间直角坐标系，则有11(0,0,0),(1,1,0),(,0,1),(1,,1),22DBEF1(0,1,1)C，设(,,),Oxyz则1(,1,1),OCxyz=−−−uuuuv再利用线面垂直关系即可求,,,xyz，从而可求出线面角．这道题如果用几何法，很多同学会觉得很困难．而通过关系联想，即线面角与斜线的方向向量和法向量所成角的关系联想，不用也没必要知道垂足在哪里，克服了几何法必须先证线面垂直的弊端，计算量也少．关系联想充分展示了数学思维的灵活性，我们刀再次体会到向量法在解决某些立体几何难题中的巨大作用．三、发展求同存异，培养思维的广阔性思维的广阔性主要表现为：能全面地、细致地、多方位地研究问题．不但能考虑问题本身，而且能善于从不同角度考虑和问题有关的其他变化条件和结果．有些基本知识之间既有区别又有联系，若能掌握这些区别和联系，既能巩固类似的知识，又能培养思维的广阔性．在高三新教材中，差商和导数是两个学生不易掌握的问题．其实，它们的联系更多是形式上的，而区别是本质的．首先，从变化观点看，差商yx∆∆是函数()yfx=当自变量x变到xx+∆时的平均变化率，而导数若dydx是函数()yfx=对自变量x在某点处的变化率．其次，从几何观点看，差商yx∆∆是函数()yfx=在一点处的割线的斜率，而导数dydx是曲线()yfx=在一点处切线的斜率．第三，从运动观点看，yx∆∆是平均速度，而dydx是某一时刻的即使速度．在新教材中，这种概念上的求同存异，还体现在许多方面，如向量的平行与共线；排列与组合；点面距离、线面距离、面面距离、异面直线间距离等．四、整理知识结构，培养思维的系统性5很多学生经常这样谈到：“我在课堂上听起来觉得很容易，而且课后做题也没问题，但是一到考试，成绩始终上不去，这是什么原因呢?”后来我找这些同学分析时发现；这些同学中多数是由于学的知识越多，属于自己的知识却越来越模糊，关键就在于他们没有对知识进行分类、归纳、整理，并形成自己的知识系统．其实这个问题在许多同学中都不同程度地存在，我认为，学生是否善于对知识分类、归纳、整理，是能否取得好成绩、尤其是中下学生能否提高成绩的重要原因．而这种能力是许多学生都欠缺的．因此，教师发挥主导作用，引导学生对知识进行分类分析，综合整理，使知识系统化，有助于学生仔细、全面、系统地思维，从而提高解决问题的能力．首先，整理纵的知识结构，即每个单元之间的前后联系．如果能引导学生把学过的知识按前后逻辑联系系统地串起来，既有利于学生对知识的理解和巩固，有利于对知识的迁移和应用．例如，学完《函数》章后，可用例3帮助学生整理知识结构．例3已知函数2()lg(253)fxxx=−+．求①定义域；②单调区间；③x为何值时，函数图象与x轴相交；与y轴相交；在x轴下方；④画出函数大致图象；⑤试比较()fx与()lg(1)gxx=−的大小．其次，整理横的知识结构，即把分散在各个章节但解决同一类问题的各种知识(方法)系统整理出来，形成一个完整的知识结构．当然，这一点，相对于前者来说，对学生要求就更高了．例如，我曾经引导学生得出求昀值(极值)的七种方法：①配方法；②判别式法；⑧平均值不等式法(分离常数)；④三角函数法；⑤几何图象法；⑥利用线性约束条件；⑦导数法．通过以上结构整理，我想学生对《函数》这一章所学基本内容就会有一个清晰的脉络，这道题就基本上可以代表《函数》这一章的学习思路，另外，这道题6的设问也是一环扣一环，是有条理发展和升华的，符合学生认知规律．同时，使学生对求昀值(极值)的方法了然于胸，特别是新教材为我们提供的两种新的求昀值(极值)的方法．在此基础上可以进一步引导学生根据具体条件选择具体的方法解决具体的昀值(极值)问题，不至于使学生思维停顿甚至“僵化”．当然，教师还要注意引导学生沟通代数、三角、几何各主干章节结构之间的内在联系，加深对基础知识的了解，以便学生综合应用，融会贯通，增强思维组织能力．总之，在新教材中实施数学能力素质教育是一个内涵丰富的课题．本文仅作了些肤浅的分析，旨在抛砖引玉．在数学教学中如何有效地加强培养数学能力素质，尚需我们从理论到实践执着不懈地去探索和研究．参考书目：《中学数学月刊》2002、4《中华教育发展论坛》中《数学通报》2004、12《数学通讯》2006、l★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★浅谈加强学生的数学应用意识摘要：在教学中通过向学生渗透建模的思想，提高学生的建模能力；通过给一个纯数学问题添加实际背景，让学生感到生活处处有数学，培养学生应用数学的意识；将课内与课外有机地结合起来，让学生参与实际问题的决策，加强学生的数学应用意识；把数学建模活动与综合实践有机地结合起来，使知识学以致用，增强学生的数学应用意识。关键词：数学建模解决问题增强意识7数学有纯数学和应用数学两大部分，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。可以说，当今各行各业都需要大批的能够用数学知识解决实际问题的数学人才。从2004年秋季开始，我省作为我国第一批实验区进行普通高中新课程实验，推行新课程改革，高中数学新课程的基本理念其中一点是：发展学生的数学应用意识。数学应用的教学能开发学生智力，调节学生心理倾向、激发学生兴趣，有培养学生追溯背景和原则的作用，使其思维发散、个性得到发展，形成分析问题和解决问题的能力，有利于培养学生的创新精神和实践能力，增强对社会和自然的更深层次的认识。因此，教师应把培养学生的“应用数学意识”落实到数学的教学中去，使学生了解数学在实际生活中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。下面谈谈在高中数学教学中如何加强学生的数学应用意识。一、结合课堂教学，向学生渗透建模的思想，提高学生的建模能力。数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识。数学建模可以通过以下框图体现：8在《数学必修①》第三章P123给出如下一道例题：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价／元6789101112日均销售量／桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得昀大利润？此题是二次函数一个求昀大值的题目。教师可针对该实例引导学生对实际表中数据进行认真分析，然后建立模型