平面向量数量积的坐标运算

复习与回顾一、向量的数量积的定义:a0ba0b0a，则其夹角为,0二、平面向量数量积的运算律:向量和实数，则向量的数量积满足：,,abc数乘结合律:ba)()()(bababa分配律:baabcba)(cbca交换律:(2)（3）（1）数量积重要性质:eaae(1)|a|cosθ⊥a2)(b0baa·b=|a||b|cosθ设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角，则:abebab（3）当与同向时，·=abab当与反向时，·=aabbbaba2aaababa（5）|·|≤abba22bba2a22b-a2))((ba6))()((baba7（4）cosθ=2aaaa或特别地，二、新课讲授问题展示：),,(),,(2211yxbyxa已知怎样用ba,的坐标表示呢？请同学们看下列问题.ba设x轴上单位向量为，Y轴上单位向量为请计算下列式子：ij①②③④=ii=jj=ji=ij1001那么如何推导出的坐标公式?ba解：2211221221jyyjiyxjiyxixx2121yyxx)()(2211jyixjyixba这就是向量数量积的坐标表示。由此我们得到：两个向量的数量积等于它们对坐标的乘积之和。,,2211jyixbjyixa已知：这就是A、B两点间的距离公式.探讨合作1:已知如何将用其坐标表示？a),,(yxa.22yxa结论1:若设如何将用A、B的坐标表示？),,(11yxA),,(22yxBAB探讨合作2:,)()(212212yyxxAB结论2:结论3：222221212121cos)(yxyxyyxx1cos探讨合作3:非零向量它们的夹角，如何用坐标表示.若你又能得到什么结论？),,(),,(2211yxbyxaba0)(2121yyxxba20//1221yxyxba0)(2121yyxxba2:与的区别。例1.设a=(3,1)，b=(1,2)，求ab，|a|，|b|，和a,b的夹角解：ab=(3,1)(1,2)=3+2=5.所以=45°|a|=223(1)10aa|b|=221(2)5bbcos=52||||2105abab例2：已知A（1,2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证△ABC是直角三角形.想一想：还有其他证明方法吗？证明：031)3(1ACAB所以△ABC是直角三角形)1,1()23,12(AB)3,3()25,12(AC)2,4()35,22(BC变式：要使四边形ABDC是矩形，求D点坐标.(2,3)(1,),ABACkABC在ABC中,设且是直角三角形,变形:k的值.变式：所以k=13（2）由向量垂直条件得7(k－2)－3=0,所以k=177例3.已知a=(1,0)，b=(2,1)，当k为何实数时，向量ka－b与a+3b（1）平行；（2）垂直。解：ka－b=(k－2,－1),a+3b=(7,3),（1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0,例4：求与向量的夹角为45o的单位向量.)13,13(a分析：可设x=（m,n),只需求m,n.易知122nm再利用（数量积的坐标法）即可！xa)(定义xa解：设所求向量为,由定义知：222845cosxaxa),(nmx……①另一方面nmxa)13()13(……②∴由①，②知解得：231m211n或232n212m∴)21,23(x)23,21(x或说明：可设进行求解.)sin,(cosx2)13()13(nm2)13()13(nm122nm由练习:已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量。解：设所求向量为(x,y),则224201xyxy解得55255xy所求向量为525525(,)(,)5555或四、演练反馈6563.D6533.B6533.C6563.AB1、若则与夹角的余弦值为（）),12,5(),4,3(baab2、已知：求证：)sin,(cos),sin,(cosba)(ba⊥)(ba)()(baba答案：∴)(ba⊥)(ba0sinsincoscos2222)sinsin,cos(cos)sinsin,cos(cos四、小结1、数量积的坐标表示2、垂直的条件1122(,),(,),axybxy设两个非零向量则1212abxxyy作业:三维设计以及小页11221212122100(,),(,),//axybxyabxxyyabxyxy设则课下思考：(4)(2,),(3,4),______________已知向量且，的夹角为钝角则的取值范围是axbabx2.已知△ABC的顶点坐标为A(2，-1),B(3，2),C(-3，-1),BC边上的高为AD，求D点及的坐标.AD1112(,),(,)DAD1.练习：1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=04．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．对任意向量a有22||aa√××××√（1）00a（3）（4）若，则对于任一非零有0ab0ba00a（2）||||||baba（5）若，则至少有一个为0baba、（6）对于任意向量都有cba、、）（）（cbacba（7）是两个单位向量，则ba与22ba0（8）若，则,0acbccba练习：