03-3-梁的横向振动

燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★细长杆作垂直于轴线方向的振动时，其主要变形形式是梁的弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动。★以y(x，t)表示梁的横向位移，它是截面位置x和时间t的二元函数；以f(x,t)表示作用于梁上的单位长度的横向力。★系统的参数：单位体积质量(x)，横截面积A(x)，弯曲刚度EJ(x)，E为弹性模量，J(x)为横截面对垂直于x和y轴且通过横截面形心轴的惯性矩。3.4梁的弯曲振动燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity假设：梁各截面的中心轴在同一平面内，且在此平面内作弯曲振动，在振动过程中仍保持为平面；不计转动惯量和剪切变形的影响；不考虑截面绕中心轴的转动。★取微段dx，如图所示，用Q(x,t)表示剪切力，M(x,t)表示弯矩。★在铅直y方向的运动方程为22,dd,dyxtQxAxxQQxfxtxtx燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity上式简化为txfxQtyxAx,22略去dx的二次项，上式简化为xMQ代入运动微分方程得txfxMtyxAx,2222在整个区间(0xL)中，都满足上式关系。忽略截面转动的影响，微段的转动方程为02dd),(dddxxtxfxxxQQMxxMM燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity由材料力学知，弯矩和挠度有如下关系式22,,xtxyxEJtxM★梁横向振动的偏微分方程txfxtxyxEJxttxyxAx,,,222222该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。求解该方程，需要四个边界条件和两个初始条件。txfxMtyxAx,2222燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity若f(x,t)=0，即为梁自由振动的偏微分方程0,222222xx,tyxEJxttxyxAx上述方程的解对空间和时间是分离的，令tFxYtxy,2222222dddd1dd1xxYxEJxxYxAxttFtF0dddddd222222tFxxYxEJxttFxYxAx燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★同前面讨论的波动方程一样，可得关于时间t的微分方程为0dd222tFttF上述方程的通解为简谐函数式中A和B为积分常数，由两个初始条件确定。tCtBtAtFsincossin★同样可以得关于空间变量x的微分方程为)0(Lx0)()()(d)(d)(dd22222xYxAxxxYxEJx★通过求解上式，可以得到振型函数的一般表达式。★振型函数Y(x)必须满足相应的边界条件。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity常见的边界条件(1)固定端：位移和转角等于零，即(2)铰支端：位移和弯矩等于零，即,0,0yx,tyxtx(x=0或x=L)22,,0,0yxtyxtEJxx(x=0或x=L)(3)自由端：弯矩和剪力等于零，即22220,0yx,tyx,tEJxEJxxxx(x=0或x=L)★对位移和转角的限制属于几何边界条件；对剪力和弯矩的限制属于力的边界条件。其它边界条件：如端点有弹簧支承或有集中质量等等。用位移二元函数y(x,t)表示的边界条件！燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity用振型函数Y(x)表示的边界条件！(1)固定端：位移和转角等于零，即d0,0dYxYxx(x=0或x=L)(2)铰支端：位移和弯矩等于零，即22d0,0dYxYxEJxx(x=0或x=L)(3)自由端：弯矩和剪力等于零，即2222ddd0,0dddYxYxEJxEJxxxx(x=0或x=L)用振型函数表示的边界条件将方程代入上述各边界条件，则边界条件可以用振型函数表示。tFxYtxy,燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity该方程为四阶常系数线性常微分方程。若单位体积质量(x)==常数，横截面积A(x)=A=常数，横截面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=常数。sxxYe代入振型微分方程，得特征方程044s424d()()0dYxEJAYxx0)()()(d)(d)(dd22222xYxAxxxYxEJx振型方程可以简化为设其解为EJA24式中0dd444xYxxY振型方程的简化燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity四个特征根为1,23,4,issxxxxDDDDxYi4i321eeeexxxshchexxxsinicosei因为xCxCxCxCxYchshcossin4321将上述解改写为这就是梁横向振动的振型函数，其中C1，C2，C3，C4为积分常数，可以用四个边界条件来确定其中三个积分常数(或四个常数的相对比值)及导出特征方程，从而确定梁弯曲振动的固有频率和振型函数Y(x)。振型微分方程0dd444xYxxY的通解燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity注：常用的双曲函数公式有xxxchshth1shch22xx00sh10chxxxchshddxxxshchdd燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity等截面均质梁的固有振动为1234(,)sincosshchsincosyxtCxCxCxCxAtBt或者写为1234(,)sincosshchsinyxtCxCxCxCxt式中有C1,C2,C3,C4,和六个待定常数。因为梁每个端点有两个边界条件，共有四个边界条件，加上两个振动初始条件恰好可以决定六个未知数。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★下面着重讨论等截面均质梁弯曲振动的固有频率和固有振型。1、简支梁简支梁的边界条件为2222d0d00,0,0,0ddYYLYYLxx将第一组边界条件代入下式12342222212342sincosshchdsincosshchdYxCxCxCxCxYxCxCxCxCxx24222400CCCC042CC燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity1313sinsh0sinsh0CLCLCLCL两式相加，2C3shL=0。因为当L0时，shL0，故得C3=0。将第二组边界条件代入下式两式相减，2C1sinL=0。因求振动解，所以C10。特征方程：0sinL它的根为,,rrLr21由此得特征值为,,rLrr2112342222212342sincosshchdsincosshchdYxCxCxCxCxYxCxCxCxCxx042CC燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★因为振型只确定系统中各点振幅的相对值，不能唯一地确定幅值的大小，故其表达式无需带常数因子，则振型函数表为,,rxLrxYr21sin222212rrEJrEJr,,ALA固有频率为因EJA24相应的振型函数为123411sincosshchsinsin1,2,rrrrrrrrrrrrYxCxCxCxCxrCxCxrL2340CCC燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity2、固支梁固支梁的边界条件为d0d00,0,0,0ddYYLYYLxx将第一组边界条件代入下式故有C2=-C4，C1=-C312341234sincosshchdcossinchshdYxCxCxCxCxYxCxCxCxCxxC2+C4=0，C1+C3=0燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity将第二组边界条件代入下式若上式对C3和C4有非零解，它的系数行列式必须为零0sinshcoschcoschsinshLLLLLLlL12341234sincosshchdcossinchshdYxCxCxCxCxYxCxCxCxCxxC2=-C4C1=-C33434shsinchcos0chcosshsin0LLCLLCLLCLLC2222chsh1sincos1LLLL★简化后得特征方程1chcosLL燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity求特征方程的根1chcosLL=0是上式的一个解，对应于系统的静止状态，故舍去。应用数值解法求得这一超越方程最低几个特征根为1L2L3L4L5L4.7307.85310.99614.13717.279固定梁的前几个特征根值★对应于r2的各个特征根，特征根可近似地表示为12342rLrr,,,梁的固有频率为,,,rAEJrr3212因EJA24燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversityxxCCxxCxYrrrrrsinshcosch434把C1=-C3和C2=-C4代入如下振型函数xCxCxCxCxYchshcossin4321振型函数简化为★C3/C4由上述所建立的边界条件求出，即由下式求出3434shsinchcos0chcosshsin0LLCLLCLLCLLCLLLLLLLLCCrrrrrrrrrr