新编[数学]数列专题复习之典型例题含答案

数列知识点----求通项一、由数列的前几项求数列的通项：观察法和分拆与类比法-----猜测----证明（略）二、由an与Sn的关系求通项an例1已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，则它的通项公式为an＝________.答案2·3n－1练1已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．答案an＝2，n＝16n－5，n≥2三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列na的前n项和为nS．已知1aa，13nnnaS，*nN．设3nnnbS，求数列nb的通项公式；答案:13(3)2nnnnbSa，*nN．（2）（4）在数列{}na中，11a，22a，且11(1)nnnaqaqa（2,0nq）．（Ⅰ）设1nnnbaa（*nN），证明{}nb是等比数列；（Ⅱ）求数列{}na的通项公式；答案:11,,.1,111nnqqqanq（3）在数列na中，1112(2)2()nnnnaaanN，，其中0．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS；答案:(1)2nnnan21212(1)22(1)(1)nnnnnnS1(1)22(1)2nnnnS（4）已知数列na满足：213,22nnaaannN（1）求数列na的通项公式；（2）设1234212111nnnTaaaaaaL，求limnnT答案:11,,.1,111nnqqqanq注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记）1.)(1nfaann2.nnanfa)(1.3qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。4.nfpaann1（1）.nnnqpaa1（其中p，q均为常数，)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq,其中p，q,r均为常数）（2）banpaann1)001(，a、p5.递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t满足qstpts6、递推公式为nS与na的关系式。(或()nnSfa)7、rnnpaa1)0,0(nap8.)()()(1nhanganfannn9.qpnaann1或nnnpqaa110.双数列型数列知识点----求和问题一、掌握数列求和的常见方法：1.公式法求和：（1）等差数列11()(1);22nnnaannSnad（2）等比数列11111111.()nnnnaqSaaqaqqqq2.错位相减法：主要用于求数列nnab的前n项和，其中na、nb中一个为等差数列，另一个为等比数列。3.裂项相消法：一般适用于通项为11nnaa的前n项和，其中na为等差数列。常见的裂项技巧有：1111(1)()(()11(2)1111(3)()(21)(21)221211111(4)(1)(2)2(1)(1)(2)knnkknnknknknknnnnnnnnnnnn其中为整数）4.倒序相加法：5.分类相加法：将数列适当拆分，重新组合，变成几个可以求和的部分再分别求和。6.分奇数项，偶数项求和二、例题巩固例1.求和：21111(1)(11)(4)(7)(32)nnaaa22222(2)sin1sin2sin3sin88sin89解：13131(1)11212-nn+)na-an-)na=;a,+a-（（时，时89(2)2例2．求和Sn＝1＋1＋12＋1＋12＋14＋…＋1＋12＋14＋…＋12n－1.解：Sn＝2n－121－12n1－12＝12n－1＋2n－2.例3．（08安徽卷）在等差数列na中，11a，前n项和nS满足条件242,1,2,1nnSnnSn，（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）记(0)nannbapp，求数列nb的前n项和nT。解：（Ⅰ）nan。（Ⅱ）12(1),12(1),11(1)nnnnnpTppnpppp例4．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.解(1)Sn＝12n－1.(2)Tn＝121－12n＋1＝n2n＋1.例5．正数数列{}na的前n项和为nS，且对任意的*nN，满足2210nnnaaS（1）求数列{}na的通项公式；（2）记1nnbS，数列{}nb前n项和为nT，求证：2(11)nTn解：（1）1nann（nN）数列知识点----数列的单调性例1、已知函数21()(2)4fxxx．（1）求()fx的反函数1()fx；（2）设11,a)(111nnafa（n∈N*），求na；（3）设22212nnSaaa,21nnnbSS否存在最小正整数m，使得对任意n∈N*，有25nmb成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．例2、．设数列na的前n项和为nS．已知1aa，13nnnaS，*nN．（Ⅰ）设3nnnbS，求数列nb的通项公式；（Ⅱ）若1nnaa≥，*nN，求a的取值范围．解：（Ⅰ）13(3)2nnnnbSa，*nN．（Ⅱ）所求的a的取值范围是9，．例3．设0a为常数，且)(2311Nnaannn（1）证明对任意012)1(]2)1(3[51,1aannnnnnn；（2）假设对任意1n有1nnaa，求0a的取值范围.解：a0的取值范围为).31,0(数列知识点----数列的综合应用一、数列与函数的综合应用例1(2012·南昌模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝n＋14an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：（1）r＝－1.(2)∴Tn＝32－12n－n＋12n＋1＝32－n＋32n＋1.练1(2011·福建)已知等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝133.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x＝π6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．解(1)an＝13×3n－1＝3n－2.(2)函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin2x＋π6.二、数列与不等式的综合应用例2、设数列{an}的前n项和Sn,=34an-312n+1+32,n=1,2,3,…..(I)求首项a1与通项an;(II)设Tn=nnS2,n=1,2,3,…..,证明:231iniT解：（Ⅰ）,24nnnan=1，2，3，…，练2在数列||na，||nb中，a1=2，b1=4，且1nnnaba，，成等差数列，11nnnbab，，成等比数列（n*N）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测||na，||nb的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：1122111512nnababab…．解：（Ⅰ）2(1)(1)nnannbn，．练3.数列221221,2,(1cos)sin,1,2,3,.22nnnnnaaaaan满足(Ⅰ)求34,,aa并求数列na的通项公式；(Ⅱ)设21122,.nnnnnabSbbba证明：当162.nnSn时，解(Ⅰ)na的通项公式为*2*21,21(N,22,2(N.nnnkkankk三、数列与解析几何的综合应用（点列问题）例3如图，从点P1（0,0）作x轴的垂线交于曲线y=ex于点Q1（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2…Pn，Qn，记kP点的坐标为（kx，0）（k=1,2，…，n）。（Ⅰ）试求kx与1kx的关系（2≤k≤n）；（Ⅱ）求112233...nnPQPQPQPQ解（Ⅰ）11(2)kkxxkn。（Ⅱ）112233...nnPQPQPQPQ11111nneeeee四、数列与三角交汇例4(2011·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作nT，再令nnTalg，n≥1.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设1tantannnnaab，求数列nb的前n项和nS.解：（Ⅰ）.1,2lgnnTann（Ⅱ）所以tan(3)tan3tan1nnSn五、数阵问题例5练习2(4)nn个正数排成几行几列:111213141naaaaa212223242naaaaa313233343naaaaa1234nnnnnnaaaaa其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知241a,4218a,43316a,试求1122nnaaa的值.解：11222nnnS.数列知识点----求通项一、由数列的前几项求数列的通项：观察法和分拆与类比法-----猜测----证明（略）二、由an与Sn的关系求通项an例1已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，则它的通项公式为an＝________.答案2·3n－1练1已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．答案an＝2，n＝16n－5，n≥2三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列na的前n项和为nS．已知1aa，13nnnaS，*nN．设3nnnbS，求数列nb的通项公式；答案:13(3)2nnnnbSa，*nN．（2）在数列na中，1112(2)2()nnnnaaanN，，其中0．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS；答案:(1)2nnnan21212(1)22(1)(1)nnnnnnS1(1)22(1)2nnnnS（3）已知数列na满足：213,22nnaaannN（1）求数列na的通项公式；（2）设1234212111nnnTaaaaaaL，求limnnT答案:11,,.1,111nnqqqanq（4）在数列{}na中，11a，22a，且11(1)nnnaqaqa（2,0nq）．（Ⅰ）设1nnnbaa（*nN），证明{}nb是等比数列；（Ⅱ）求数列{}na的通项公式；答案:11,,.1,111nnqqqanq注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记）1.)(1nfaann2.nnanfa)(1.3qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。4.nfpaann1（1）.nnnqpaa1（其中p，q均为常数，)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq