4.1-4.2n维向量空间及向量组的线性表出(1)

返回几何空间(三唯向量空间）（第三章）推广n唯向量空间（第四章）推广线性空间（第七章）返回4.1n维向量空间一、三维向量空间三、Rn的子空间返回二、n维向量空间返回一、三维向量空间(几何空间)123(,,)aaa并定义向量的线性运算如下：加法:数乘：k•=(ka1,ka2,ka3).（ai为实数）123(,,),aaa设123(,,)bbb()kRa（三唯向量）112233(,,)ababab返回按上述方式定义的线性运算，满足八条运算规律：(1)+=+;(2)(+)+=+(+);(3)+O=;(4)+(-)=O;(5)1=;(6)k(l)=(kl);(7)k(+)=k+k;(8)(k+l)=k+l.由三维实向量23,,),()iaaaaR1(的全体构成的集合，按定义的加法和数乘满足八条运算法则，则称这个集合对规定的加法和数乘构成一个三维向量空间(或几何空间)。记为R3.返回确定飞机在空中的状态：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角)20(机身的仰角)22(机翼的转角)(所以，确定飞机的状态，需要6个参数，可表示为(,,,,,)xyz实际问题：返回n维向量:),,,(21naaan维行向量n维列向量:nbbb21实（复）向量:坐标为实（复）数n—称为向量的维数。——n个数构成的有序数组。二、n维向量空间的概念返回向量相等的定义：=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn)=ai=bi零向量：=(0,0,…,0)负向量：-=(-a1,-a2,…,-an)Rn={(a1,a2,…,an)|aiR}——n维实向量的全体.n维向量的线性运算:=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn)，+=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn),k•=(ka1,ka2,…,kan),kR.加法:数乘：返回加法与数乘满足下列八条运算规律：(1)+=+;(2)(+)+=+(+);(3)+0=;(4)+(-)=0;(8)(k+l)=k+l.(7)k(+)=k+k;(6)k(l)=(kl);(5)1=;n维实向量2,,,),()niaaaaR1(的全体构成的集合Rn，按定义的加法和数乘满足八条运算法则，称Rn对规定的加法和数乘构成一个n维向量空间。一般地，若向量集合V，按定义的加法和数乘满足八条运算法则，则称V对规定的加法和数乘构成一个向量空间。返回aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn2121222211121112im用向量的观点看矩阵:12mAaaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj2122222111121112jn12()nA，，，iA称为的行向量；iA称为的列向量；1×n的行矩阵可以视为n维行向量；n×1的列矩阵可以视为n维列向量；返回用向量的观点看线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111.................................................可写成：mmnnnnmmbbbaaaxaaaxaaax2121222122121111即1122nnxxxb或12()nXb，，，——方程组的向量形式即其中mxxxX21称为满足方程的一个解向量。AXb返回定义若,nVR,V则称V是Rn的一个子空间.（此时称V对加法封闭）由定义知：（1）Rn的子空间本身也是一个向量空间！（2）子空间必含零元。,,VkR且，有,kV二、Rn的子空间（此时称V对数乘封闭）(V有零元是V为子空间的必要条件!)即若Ｖ没有零元Ｖ不是子空间．返回(1),();nVRV;VV是Rn的一个子空间（即V对加法封闭）(2),V，有,kV子空间的判别:（即V对数乘封闭）.(3),kRV有（即过坐标原点的直线是R2的子空间.）例1设V={(x,y)|x+y=0},V是否是R2的子空间？例2设V={(x,y)|x+y=1},V是否是R2的子空间？（不过坐标原点的直线不是R2的子空间.）返回例3过坐标原点的平面但是，不过坐标原点的平面不是R3的一个子空间；不过坐标原点的空间直线不是R3的一个子空间.不全为零CBACzByAxzyxV,,,0),,(为R3的一个子空间；例4过坐标原点的空间直线.为R3的一个子空间不全为零pnmpznymxzyxW,,,),,(因为，它们不含零元0=（0，0，0）.返回4.2向量组的线性相关性一、向量组的线性组合二、向量组的线性相关性返回三、线性相关性与线性组合(表出)的关系返回向量组：同维数的向量所组成的集合.例如:121,2,3,3,4,6,341,0,4,3,1,31234,则，，为一向量组。该向量组向量的维数是3,向量组所含向量个数为4.即该向量组由4个3维的向量组成.又如:nR------所含向量个数为1.------含无穷多个向量.返回向量组与矩阵的关系:例如()mnAija矩阵aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj2122222111121112jnnm有个维列向量12,,n向量组称为矩阵A的列向量组。12()nA，，，返回()mnAmnija矩阵有个维行向量aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn2121222211121112im向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．12n反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.12mA返回线性方程组:11112211211222221122().................................................nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb即：mmnnnnmmbbbaaaxaaaxaaax2121222122121111即1122nnxxxb——方程组的向量形式存在一组数x1,x2,…,xn使得1122,nnbxxx故非齐次线性组(*)式有解12nb-----称可由，，，线性表出返回一、向量组的线性组合(线性表出)定义若存在一组数k1,k2,…,km使得,2211mmkkk或称向量为向量组1，2，…，m的线性组合，例1零向量是任一向量组的线性组合..000021m则称向量可由向量组1，2，…，m线性表出.例2向量组1,2,…,m中任一向量都可由这个向量组线性表出..00100111miiii返回m，，，21例3设为n维向量组，证明：是的一个子空间。nR又，)(21m，，，L1122,mmlll1122mmlllL(1,2,…,m)={1,2,…,m线性组合的全体}.11221122()()mmmmllllll111222()()()mmmllllll)(21m，，，L（L对加法封闭）证明:12()nmLR，，，为常数,12;mlll，，，mlll，，，21其中返回kR，L有k1122()mmklll1122mmklklkl)(21m，，，L所以)(21m，，，L是的一个子空间。nR称L(1,2,…,m)是由1,2,…,m所生成的子空间.（L对数乘封闭）(,,)Lijk例如:3,,ijkR是由所生成的的子空间。返回(,,)Lijk3123(,,),xxxR因例4123123(,,)xxxxixjxk123kikjkk(,,),Lijk反之(,,),Lijk123(,,)kkk有有3R3R三唯向量空间是由三个基向量,,ijk3R所生成的.返回12100010,,,.001n亦即,任一n维向量均可由n,,,21线性表出..),,,(221121nnnxxxxxx——n唯基本单位向量组12(,,,),nnRL设则12(,,,),nnxxxR即返回选择题：（A）存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使得,2211mmkkk若向量可由向量组1，2，…，m，线性表出（D）对的线性表达式唯一。则下列结论中正确的是（）（B）存在一组全为零的数k1,k2,…,km使得,2211mmkkk（C）存在一组数k1,k2,…,km使得,2211mmkkkC返回AX=b有解,b可由1,2,…,n线性表出存在一组数x1,x2,…,xn使得,2211bxxxnn其中A=(1,2,…,n)定理1:b可由1,2,…,n线性表出AX=b有解;)()(ARAR其中A=(1,2,…,n),12(,,)nAb线性表出与方程组AX=b解的关系：返回设R(A)=r,1111110snrsrnrrcccdccddO行初等变换所以AX=b有解dr+1=0()()RARAr即有解的充要条件为:AXb()().RARA这是线性方程组AX=b是否有解的判别定理。A=（Ab）下面证明:AX=b有解;)()(ARAR返回由定理1得:(1)b可由1,2,…,n线性表出AX=b有解其中A=(1,2,…,n),;)()(ARAR(2)b可由1,2,…,n线性表出(3)AX=b有解;)()(ARAR12(,,)nAb返回例5：向量可否由T)511(，，，，，T)321(1，，，T)410(2T)632(3，，线性表出,若能,则写出该表达式321，，(1)需考察线性方程组511643312201X123是否有解.分析:利用定理1(2)若有解,求出其一组解.?(()=())RARA需考察123,xXxx即可由1,2,3线性表出AX=有解112233.xxx则返回511643312201A831040110201431400110201131100110201121100010001则.121