二次函数背景下的直角三角形的存在性问题修订版

一、课前小测：1.直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长是2.已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6,动点P、Q分别同时从A、B出发，其中点P在线段AB上向点B移动，速度是2单位每秒；点Q在线段BC上向点C运动，速度是1单位每秒。设运动时间为t（秒），当t=秒时，△BPQ是直角三角形。（一）经典模型模型再现：已知：定点A(2,1)、B(6,4)和动点M（m,0）,存在直角三角形ABM,求点M的坐标。1.勾股定理（暴力法---两点间距离公式）利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解。其基本解题思路是列点.列线.列式。勾股定理三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验。2.“K型相似”（一线三等角）几何法三部曲：先分类；再画图，构造相似；列比例式求解。（三）典例讲解例1.如图，直线与抛物线𝑦=12𝑥2+𝑏𝑥+𝑐交于点A（0，1），B（4，3）两点。与x轴交于点D。（1）求直线和抛物线的解析式；（2)动点P在x轴上移动，当△PAB是直角三角形时，求点P的坐标（3）动点P在y轴上移动，当△PAB是直角三角形时，求点P的坐标（4）动点P在坐标轴上移动，当△PAB是直角三角形时，求点P的坐标例2.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0)，并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上。(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线。垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标。例3.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3，0)、C(0，4)，点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．（3）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；3：如图，已知直线y=kx-6与抛物线cbxaxy2相交于A,B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上。（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图像上是否存在一点P,使POCPOB与全等？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且APQ为直角三角形，求点Q的坐标。POBACDxy5.抛物线cbxxy221与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，顶点为P（1）求抛物线解析式；（2）动点M,N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB,OC上向点B，C方向运动，过点M做x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F，使PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。CHPOAMBxy