5.6-1正弦定理

5.6.1正弦定理LawofSines教学目标学习要求１，通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现，归纳，概括出正弦定理．并理解正弦定理的推导过程与学会初步应用.２，会初步应用正弦定理解决两类三角形的问题．学习目标１，通过教学活动设计，让学生探究三角形边与角的关系，进而证明正弦定理，并通过例题初步掌握正弦定理．２，通过本节学习，培养学生观察，分析，归纳及数学表达等能力．教学目标某林场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A，B．某日两个观测点的工作人员分别测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，在B处观测到火情发生在北偏西方向．已知B在A的正东方向１０千米处．（如图）现在要求火场C距A，B多远？4060ABC归纳为数学问题：在中，已知，AB＝１０千米，求AC与BC的长．ABC0130CAB030CBA今天，我们就进一步研究三角形中的边角关系．ABC１０探究一探究二探究三探究四探究一：研究特例sin,sin,sin1abABCccc那么这个结论在任意三角形中是否成立？,,sinsinsinabccccABC发现sinsinsinabcABC结论：如图，在中，已知RtABC,,,BCaACbABcsin,sin,sin.ABC求解：acbCBA探究二：实验验证猜测：在任意三角形中,成立sinsinsinabcABCABCCAB请同学们画一个锐角三角形，一个钝角三角形．两个三角形用量角器和刻度尺：测量边长和各角的大小，并计算检验：sinsinsinabcABC探究三：探究证明如图，在中,分别是的对应边，求证：ABC,,abc,,ABCsinsinsinabcABCcbaABC(3-1)探究三：探究证明证法一:化为直角三角形sin,sinCDbACDaB证明：sinsinabABsin,sinsinsinAEbCAEcBbcBC又sinsinsinabcABCDE(3-2)探究三：探究证明证法二:如图以A为坐标原点,AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系.则B(c,0),C(bcosA,bsinA),CD=bsinA11sin,sin22ABCABCSacBSabC同理:11sin22ABCSABCDbcA则所以:111sinsinsin222acBabCbcA等式两边同除以12abc得sinsinsinABcabcsinsinsinabcABC即，(3-3)探究四：探究结论在任意中,各边与它所对角的正弦的比相等.这个结论叫做正弦定理ABC（lawofsines)sinsinsinabcABC即，练习一练习二练习三练习四练习一林场火情问题在中，已知，AB＝１０千米，求AC与BC的长．ABC0130CAB030CBAABC解:1303020A+B+C=180C=180sinsinACABBC由正弦定理有：sin15sinABACBCsinsinBCABACsin22sinABBCAC练习二在中,已知求b.(结果保留两位有效数字)ABC10,45,30.cACBcA解:,105sinsinsin19sinbcBBCcBbC通过上述两题发现,利用正弦定理能解决①已知两角一边,解三角形.那么利用正弦定理还能解决什么问题呢?练习三在中已知求ABC4,42,45.abB.Asin1:sinsinsin2abaBAABb解由=得30150,30AabABA或练习四在中,已知ABC3085Aca，，，,CBb求和()结果保留两位小数180126.87.C所以，C53.13或53.131803096.87.B当C53.13时，53.1355,sin96.879.93.sin30sin96.87sin30bb由得126.8718030126.8723.13.B当C时,55,sin23.133.93.sin30sin23.13sin30bb由得解:584,sin.sin30sin5CC由正弦定理，得即,96.87,9.93126.87,23.13,3.93CBbCBb因此，53.13或。小结：通过上述例题发现，利用正弦定理能解决，②已知两边及一边的对角，解三角形．因此,正弦定理可以解决三角形中的两类问题①已知两角和一边,解三角形②已知两边及一边所对的角，解三角形．２，利用正弦定理可以解决两类三角形问题：①已知两角和一边，解三角形②已知两边及一边所对的角，解三角形１，正弦定理：sinsinsinabcABC拓展一拓展二拓展一12,30120,bABa在ABC中,已知求①3,45,60,cABb在ABC中,已知求②,41030ABCabAabc是否存在使，，（其中，，分别为A，B，C所对应的边）③326234不存在拓展二(2)ABCcoscosABCaAbB，在中，已知，试判断的形状。0(1)ABCb=2AC=75Bca0，在中，已知，=60，，求，，(3)ABCABC18cmsinAsinBsinC=432，在中，已知的周长为，且：：：：，则三边长分别为。ABC11(4)ABCtantan23SAA，在中，已知，，最长边为1，求最短边及面积062B453c2a，，等腰三角形或直角三角形8b6c4a，，ABC51bS510最短边，