第4章：连续体的振动

STDUDYNAMICSOFSTRUCTURES•Prof.LanheWu•ShijiazhuangTiedaoUniv.DynamicsofStructuresSTDUDYNAMICSOFSTRUCTURES第四章连续系统的振动具有连续分布的质量和弹簧系统称作连续系统或分布质量系统。连续系统具有无限多个自由度，其动力学方程为偏微分方程，只对一些简单情形才能求得精确解。对于复杂的连续系统则必须利用各种近似方法简化为离散系统求解。本章先讨论以杆的纵向振动为代表的一类振动以及梁的横向振动，以掌握连续系统振动的一般规律，然后介绍工程中常用的几种近似方法，包括集中质量法、假设模态法、模态综合法和有限元法。本章材料均为理想线弹性体，即材料为均匀的和各向同性的，且在弹性范围内服从胡克定律STDUDYNAMICSOFSTRUCTURES§4.1一维波动方程基本假设:考虑图示均质直杆1.所有连续体均为线性弹性体2.材料均匀连续且各向同性3.体系的振动变形都是微小变形一.动力学方程1.杆的纵向振动设E弹性模量为S横截面积为材料密度为l杆件长度为假定振动过程中各截面保持平面，并忽略因纵向振动引起的横向变形STDUDYNAMICSOFSTRUCTURES考虑微段的平衡一维波动方程uFESESxd(d)FSxuFxFx而将上式代入动力平衡方程整理得2uau/aE波速2.弦的横向振动讨论两端固定，以张力F拉紧的细弦的横向振动STDUDYNAMICSOFSTRUCTURES设弦单位长度的质量为ldlyx(,)pxt单位长度弦上横向的干扰力以变形前弦的方向为x轴振动过程中弦的张力不变(,)yxt设横向挠度对图示微元体，列出22dddlyxFxpxtx/yx将代入整理得2/lyayp自由振动时0p上式化为2yay一维波动方程/laF波速STDUDYNAMICSOFSTRUCTURES3.轴的扭转振动设截面的二次极矩为PI材料的密度为G剪切模量建立图示的坐标系(,)xt扭转角该截面处的扭矩为(/)PTGIx对右图示的微元体，列出2222dddPPIxGIxpxtx自由振动时2222ddPPIxGIxtx化为一维波动方程一维波动方程2a/aG波速STDUDYNAMICSOFSTRUCTURES4.杆的剪切振动材料的密度为G剪切模量建立图示的坐标系(/)(/)SFGSyx对右图示的微元体，列出杆的剪切振动xxdxSFdSSFFxxy当杆的长度接近截面尺寸时，杆的横向振动主要引起剪切变形假设振动过程中杆的横截面始终保持平行，称作杆的剪切振动2222ddyGSySxxtx截面形状系数2yay一维波动方程/()aG波速整理得STDUDYNAMICSOFSTRUCTURES二.固有频率和模态函数以上四种物理背景不同的振动都归结为同一数学模型，即一维波动方程。以杆的纵向振动为代表，讨论此数学模型，所得结果也完全适用于其它振动问题。现来求解一维波动方程2uau利用分离变量法，令(,)()()uxtxqt这个假设的实质是:假设杆上各点作同步运动代入波动方程得2()()()()qtxaqtx()x杆上距原点x处的截面纵向振动的振幅()qt各截面振动随时间的变化规律等式两边是互相无关的函数，因些只能等于常数STDUDYNAMICSOFSTRUCTURES记22()()()()qtxaqtx上式可化为如下两个常微分方程2()()0qtqt2()()0xxa思考:为什么这个常数为非正数?通解:()sin()qtat12()sincosxxxCCaa振动形态(模态)常数1C2C由杆的边界条件确定与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，即模态函数。由于是表示各坐标振幅的相对比值，模态函数内可以包含一个任意常数STDUDYNAMICSOFSTRUCTURES由频率方程确定的固有频率有无穷多个(1,2,)iii()ix一一对应第i阶主振动()(,)()sin()(1,2,)iiiiiuxtaxti系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加1(,)()sin()iiiiiuxtaxt其中积分常数ia和i(1,2,)i由系统的初始条件确定以下讨论几种常见边界条件下的固有频率和模态函数1.两端固定边界条件为(0,)(0)()0utqt(,)()()0ultlqt()0qt因(0)0()0lSTDUDYNAMICSOFSTRUCTURES(0)0()0l将代入12()sincosxxxCCaa可得20C1sin0lCa和因为10C故须有sin0la频率方程无穷多个固有频率iial(0,1,2,)i模态函数()siniiixxCl(0,1,2,)i由于模态表示的是各振幅比值,故可令这个常数等于1()siniixxl(0,1,2,)i2.两端自由边界条件为(0,)(0)()0ESutESqt(,)()()0ESultESlqt因(0)0()0l()0ESqtSTDUDYNAMICSOFSTRUCTURES(0)0()0l将代入12()sincosxxxCCaa可得10C2sin0lCa和因为20C故须有sin0la频率方程无穷多个固有频率iial(0,1,2,)i模态函数()cosiiixxCl(0,1,2,)i亦可令这个常数为1,有()cosiixxl(0,1,2,)i3.一端固定另一端自由边界条件为(0,)(0)()0utqt(,)()()0ESultESlqt因(0)0()0l()0ESqtSTDUDYNAMICSOFSTRUCTURES(0)0()0l将代入12()sincosxxxCCaa可得20C1cos0lCa和因为10C故须有cos0la频率方程无穷多个固有频率2122iial(1,2,)i模态函数21()sin2iiixxCl(1,2,)i亦可令这个常数为1,有(0,1,2,)i21()sin2iixxlSTDUDYNAMICSOFSTRUCTURES例:解:设杆的一端固定，另一端自由且有附加质量0m0mESlxO如图所示,试求杆纵向振动的固有频率和模态边界条件写作(0,)0ut0xlxlESumu(0)020()()ESlml将边界条件代入12()sincosxxxCCaa得到20C及频率方程0cossinESllmaaa化作1tanllaa0/mmmSl其中梁的总质量利用数值方法或作图法可解出此方程，得到频率iSTDUDYNAMICSOFSTRUCTURES相应的模态函数为()siniixxa(1,2,)i因为数学模型相同，以上在各种边界条件下导出的固有频率和模态函数也完全适用于弦的横向振动、杆的扭转振动和梁的剪切振动。关于这类系统的受迫振动本节不作讨论，因为与下节梁的弯曲受迫振动的分析和计算方法基本相同STDUDYNAMICSOFSTRUCTURES§4.2Euler-Bernoulli梁的弯曲自由振动一.动力学方程考虑细直梁的弯曲振动忽略梁的剪切变形和截面绕中性轴转动对弯曲的影响Euler-Bernoulli梁设梁的长度为l密度为截面积为()SxE弹性模量为()Ix截面二次矩(,)fxt单位长度梁上的横向外力(,)mxt单位长度梁上的外力矩STDUDYNAMICSOFSTRUCTURES取一微段,其受力图如右图利用达朗伯原理列出微元体沿y方向的动力学平衡方程22d(d)(,)dSSSFySxFFxfxtxtx即22(,)SFyfxtSxt再列出微元体力矩方向的平衡方程22dd(d)d(,)dd(,)d022SMxyxMxMFxfxtxSxmxtxxt略去高阶微量得到(,)SMFmxtx将该式代入前面的式子得到(,)MmfxtSySTDUDYNAMICSOFSTRUCTURES由材料力学知(,)()(,)MxtEIxyxt(,)MmfxtSy代入整理得(,)EIySyfxtm动力学方程若为等截面梁,则可化为(,)EIySyfxtm若梁上无分布力矩,则化为(,)EIySyfxt此方程含有对坐标的四阶导数和对时间的二阶导数,故求解时必须考虑四个边界条件和两个初始条件二.固有频率和模态函数考虑梁的自由振动,此时梁上无荷载,动力学方程为0EIySySTDUDYNAMICSOFSTRUCTURES0EIySy仍采用分离变量法，令(,)()()yxtxqt代入动力学方程,整理得到()()()()EIxxqqSxx该式两边分别为时间和坐标的孤立函数,两者互相无关,故只能等于常数,记为2导出两个常微分方程2()()0qtqt2()()()()0EIxxSxx第一个方程的解为()sin()qtatSTDUDYNAMICSOFSTRUCTURES第二个方程为变系数微分方程,一般情况下得不到解析解考虑特殊情况,高梁为等截面梁,则第二个方程化为2()()0EIxSx42SEI令4()()0xx该方程的解可以确定梁的模态函数和固有频率设解的一般形式为()xxe代入控制方程，导出本征方程440本征根为,i对应于4个线性独立的特解i-i,,,xxxxeeeecoshsinhxexxicosisinxexx因为STDUDYNAMICSOFSTRUCTUREScosh,sinh,cos,sinxxxx亦可将作为基本解于是原方程的通解为1234()cossincoshsinhxCxCxCxCx积分常数(1,2,3,4)jCj及参数应满足的频率方程由梁的边界条件确定可解出无穷多个固有频率及模态函数i()ix(1,2,)i构成系统的主振动()(,)()sin()iiiiiyxtaxt(1,2,)i系统的自由振动是无穷多个主振动的线性叠加1(,)()sin()iiiiiyxtaxtSTDUDYNAMICSOFSTRUCTURES其中,积分常数iia和由初始条件确定常见的约束状况与边界条件有以下几种：固定端00()0,()0xx00()0,()0yxyx即0（0）xl或简支端00()0,()0xx00()0,()0yxMx即自由端00()0,()0xx00()0,()0SMxFx即STDUDYNAMICSOFSTRUCTURES以下若无特殊说明,均假设梁为等截面梁例:解:求两端简支梁的固有频率和模态(0)0,(0)0()0,()0ll1234()cossincoshsinhxCxCxCxCx已知梁的边界条件为代入得130CC130CC1234cossincoshsinh0ClClClCl130CC1234cossincoshsinh0ClClClCl由前二式可解得代入后二式有2424sinsinh0sinsinh0ClClClClS