杆的纵向受迫振动

返回总目录振动力学连续系统振动连续系统振动目录返回首页1杆的纵向振动2杆的纵向受迫振动3梁的横向自由振动4梁的横向受迫振动5转动惯量、剪切变形对梁振动的影响6轴向力作用对梁的横向振动的影响7梁横向振动的近似解法返回首页连续系统振动1杆的纵向振动返回首页1杆的纵向振动1.1等直杆的纵向振动1.2固有频率和主振型1.3主振型的正交性返回首页1杆的纵向振动1.1等直杆的纵向振动实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此，称之为弹性体系统。同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从虎克定律。由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度是相似的。以杆的纵向作为x轴，在杆上x处取微元段dx返回首页1杆的纵向振动1.1等直杆的纵向振动均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为，横截面积为A，材料的弹性模量为E,如图所示。设杆在纵向分布力q(x,t)的作用下作纵向振动时，其横截面保持为平面，并且不计横向变形。返回首页1杆的纵向振动1.1等直杆的纵向振动以杆的纵向作为x轴，在杆上x处取微元段dx，其左端纵向位移为u(x)，而右端即杆上x+dx处的纵向位移为xxuudxxudxuEEAN应力为N是x处轴的内力)(xuEAxxNxu应变为xuEANdx段的变形为返回首页1杆的纵向振动1.1等直杆的纵向振动微元段dx受力如图。根据牛顿第二定律得到xtxqNxxNNtuxAd),()d(d22),()(22txqxuEAxtuA),(1)(2222txqAxuEtuEA是常数，可写成这是杆作纵向受迫振动方程，常称为波动方程。aE2表示弹性波沿杆的纵向传播的速度),(22txqxNtuA)(xuEAxxN返回首页1杆的纵向振动1.2固有频率和主振型系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样，假设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其上所有质点都做简谐运动。可见杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。22222xuatu得到杆的纵向自由振动微分方程为),(1)(2222txqAxuEtuqxt(,)0返回首页1杆的纵向振动1.2固有频率和主振型22222xuatu即为杆的主振动的一般形式。uxtUxAptBpt(,)()(cossin)解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即返回首页1杆的纵向振动1.2固有频率和主振型杆有无穷多个自由度系统，振型不再是折线而变成一条连续曲线。0)(d)(d2222xUapxxU22222xuatuuxtUxAptBpt(,)()(cossin)振型函数振动规律当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下，求解值p2及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问题。p2为特征值，U(x)又称为特征函数或主振型；而p是固有频率。代入返回首页1杆的纵向振动1.2固有频率和主振型0)(d)(d2222xUapxxUapxDapxCxUsincos)(解可表示为由杆的边界条件，可以确定p2值及振型函数U(x)。返回首页1杆的纵向振动1.2固有频率和主振型现在来确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型UUl(),()0001.杆两端固定的情况边界条件为apxDapxCxUsincos)(CDpal00,sinsinpal0),2,1(πiliapi),2,1(πsin)(ixliDxUii即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为相应的主振型为返回首页1杆的纵向振动1.2固有频率和主振型分别令i=1,2,3，可得系统的前三阶固有频率和相应的主振型为.π3sin)(,π3;π2sin)(,π2;πsin)(,π333222111xlDxUlapxlDxUlapxlDxUlap杆的前三阶主振型表示如图所示。),2,1(πiliapi),2,1(πsin)(ixliDxUii返回首页1杆的纵向振动1.2固有频率和主振型2.杆的左端固定，右端自由的情况边界条件为0dd,0)0(lxxUUapxDapxCxUsincos)(即为一端固定，一端自由杆的频率方程。解出固有频率为0cos0cos,0lapxapDapCalipi2π12,2,1i相应的主振型为xliDxUii2π12sin)(,2,1i返回首页1杆的纵向振动1.2固有频率和主振型3.杆的两端都是自由的情况边界条件为0dd,0dd0lxxxUxU0sin0sin0laplapCapD，apxDapxCxUsincos)(alipiπi012,,,xliCxUiiπcos)(i012,,,即为两端自由杆的频率方程。解出固有频率为相应的主振型为当p=0时，对应了杆的刚体振型。返回首页1杆的纵向振动1.2固有频率和主振型例1一均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为，横截面积为A，材料的弹性模量为E。其一端固定，另一端连接弹簧常数为k的弹簧，试求杆的纵向振动的固有频率及主振型。当杆作纵向振动时，杆的右端的弹簧支承相当于作用kU(l)之力。因此，边界条件为)(dd,0)0(lkUxUEAUlxxapDxUCsin)(,0EApapalkpalcossinapxDapxCxUsincos)(解：杆的端部连接弹簧或带有集中质量时，称复杂边界条件。返回首页1杆的纵向振动1.2固有频率和主振型EApapalkpalcossintanpalEAlkUxDpaxiii()sin频率方程EAlx=l处杆的抗压刚度相应于固有频率pi的主振型为返回首页1杆的纵向振动1.2固有频率和主振型相应的主振型为当时，相当于固定端，有,即k0sinpal0讨论两个极端的情况alipiπi12,,aliDxUiiπsin)(i12,,则频率方程为若，相当于自由端，即k0cospal0返回首页8.1杆的纵向振动8.1.2固有频率和主振型例2与例1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频率和主振型。lxtuM22当杆作纵向振动时，附有集中质量的一端相当作用有惯性力因此杆的边界条件为lxlxtuMxuEAU22,0)0(apxDapxCxUsincos)(得到C=0解：此系统仍属于复杂边界条件问题。xapDxUsin)(返回首页1杆的纵向振动1.2固有频率和主振型lxlxtuMxuEA22得频率方程EApapalMppalcossin2AlMpal,tan无量纲因子质量比相应的主振型为UxDpaxDlxiiiii()sinsinxapDxUsin)()sincos(sin)sincos(cos222ptBptAlapDptuptBptAlapDapxulxlx返回首页1杆的纵向振动1.2固有频率和主振型对于的情况，将很小，即杆的质量远小于集中质量时，可以取AlMtan2则得到对于基频情况，有MAllap2221其中是不计杆本身质量时杆的抗压刚度，以上结果与不计杆本身质量而将其看成是单自由度系统所得的结果相同。EAllMEAp1返回首页1杆的纵向振动1.3主振型的正交性因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆的质量密度、横截面积等都可以是x的函数。因此可写出杆的纵向振动微分方程式为)(22xuEAxtuA这里只讨论简单边界条件的杆的主振型的正交性。AUpxUEAx2)dd(dd将杆的主振动的表达式0)(d)(d2222xUapxxUuxtUxAptBpt(,)()(cossin)代入jjiiUpUp,;,22iiiAUpxUEAx2)dd(ddjjjAUpxUEAx2)dd(dd取特征值问题的两个解代入返回首页1杆的纵向振动1.3主振型的正交性iiiAUpxUEAx2)dd(ddjjjAUpxUEAx2)dd(ddUj乘以Ui乘以分别沿杆长l对x积分，得ljiilijxUAUpdxxUEAxU020d)dd(ddljijljixUAUpdxxUEAxU020d)dd(dd再利用分部积分，可将式中左边积分为ljiiljilijxUAUpxxUxUEAxUEAU0200dddddd)dd(ljijljiljixUAUpxxUxUEAxUEAU0200dddddd)dd(返回首页1杆的纵向振动1.3主振型的正交性ljiiljilijxUAUpxxUxUEAxUEAU0200dddddd)dd(ljijljiljixUAUpxxUxUEAxUEAU0200dddddd)dd(杆端简单边界条件总可以写成1.固定端2.自由端lxxxU或0,0)(lxxxxUEA或0,0d)(dljiiljixUAUpxxUxUEA020ddddddljijljixUAUpxxUxUEA020dddddd等于零相减，得0d)(022ljijixUAUppjipp0d0ljixUAUij就是杆的主振型关于质量的正交性。返回首页1杆的纵向振动1.3主振型的正交性0d)(022ljijixUAUppjippijljiilijxUAUpxxUEAxU020dd)dd(dd0d)dd(dd0lijxxUEAxU0ddddd0ljixxUxUEAljiiljixUAUpxxUxUEA020dddddd上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。返回首页1杆的纵向振动1.3主振型的正交性0d)(022ljijixUAUpp当i=j时，式总能成立，令jpljMxAU02d为第j阶主质量jpljjljKxxUEAxUxdxdUEA002d)dd(ddd)(第j阶主刚度ljiilijxUAUpxxUEAxU020dd)dd(ddljiiljixUAUpxxUxUEA020ddddddKpj与Mpj的大小取决于第j阶主振动中常数的选择pKMjpjpj2关系返回首页1杆的纵向振动1.3主振型的正交性与多自由度系统相似，可将主振型函数Uj进行标准化。如果主振型中的常数按下列归一化条件确定1d~02jpljMxUA则得到的主振型称为正则振型，~Uj2jjppK这时相应的第j阶主刚度返回首页连续系统振动2杆的纵向受迫振动返回首页2杆的纵向受迫振动2.1杆对初始条件的响应2.2杆对任意激励的响应返回首页2杆的纵向受迫振动2.1杆对初始条件的响应与有限多自由度系统一样，在对杆进行的纵向自由振动分析的基础上，可以用振型叠加法求解杆对纵向任意激励的响应。杆的自由振动微分方程)(22xuEAxtuA假定在给定的边界条件下，已经得到各阶固有频率及相应的正则振型。pii(,,)12~()(,,)Uxii12uxtUxtiii(,)~()()1根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为第i阶正则坐标第i阶正则振型函数1d~02jpljMxUA返回首页2杆的纵向受迫振动2.1杆对初始条件的响应)(22xuEAxtuAuxtUxtiii(,)~()()10)d~d(dd~11iiiiiixUEAxUA0d)d~d(dd~d~~1010